Сложная функция

На практике нередко случается, что рассматриваемая величина зависит от другой величины не непосредственно, а через некоторую третью промежуточную величину. Например, продажная цена товара зависит от его себестоимости не прямо, а через оптовую цену этого товара.

Сходная ситуация наблюдается и при образовании многих функций. Рассмотрим функцию, заданную равенством y=\sqrt{3x-1}. Чтобы вычислить значение этой функции в точке x, нужно: 1) найти значение 3x – 1; 2) вычислить квадратный корень из полученного результата. Другими словами, сначала нужно найти значение функции g(x) = 3x – 1, а затем – значение функции y=\sqrt{g\left(x\right)}. Поэтому функцию y=\sqrt{3x-1} можно рассматривать как образованную из функций u = g (x) = 3x – 1 и f\left(u\right)=\sqrt{u} с помощью подстановки первой из них во вторую. Говорят, что функция y=\sqrt{3x-1} есть сложная функция, образованная из данных функций, что записывается следующим образом:

y=f\left(u\right)=\sqrt{u} и u=g\left(x\right)=3x-1 или же y=f\left[g\left(x\right)\right].

В случае сложной функции каждому значению х соответствует значение у по схеме x → u → y. Тем самым, значение функции определяется по значению аргумента x посредством промежуточной переменной. При этом значения промежуточной функции u = g(x) должны принадлежать области определения функции у = f(u).

Пусть y = f(u) и u = g(x) – числовые функции. Тогда функция y = f [g (x)] называется сложной функцией[понятие: Сложная функция (liitfunktsioon) – составленная из двух функций 𝑦 = 𝑓(𝑢) и 𝑢 = 𝑔(𝑥) функция 𝑦­ = 𝑓[𝑔(𝑥)], причем значения внутренней функции 𝑢 = 𝑔(𝑥) должны принадлежать области определения внешней функции 𝑦 = 𝑓(𝑢).], составленной из функций y = f(u) и u = g(x).

Образование сложной функции представлено на рисунке 2.66.

Рис. 2.66

Пример 1.

Пусть f (u) = u2 и u = g (x) = x – 5. Тогда сложная функция y = f [g (x)] – это функция y = (x – 5)2. Здесь функция f является внешней, а функция g – внутренней, или промежуточной, функцией.

Пример 2.

Пусть дана функция y = (2x3 – 3)5. Эту функцию можно рассматривать как сложную, полученную с помощью возведения в пятую степень функции u = g (x) = 2x3 – 3. Функцию y = (2x3 – 3)5 можно с помощью промежуточной переменной u представить в виде y = f (u) = u5. Таким образом, функцию y = (2x3 – 3)5 можно выразить через две функции: y = u5, u = 2x3 – 3. Внешней функцией здесь является f, а внутренней – функция g.

Пример 3.

Рассмотрим функцию y=\sqrt{4-x^2}. Ее можно рассматривать как сложную функцию: y=\sqrt{u}, u=4-x^2. Однако сложная функция y = f [g (x)] определена только для таких значений аргумента х, при которых значения промежуточной функции u = g (x) = 4 – х2 принадлежат области определения функции y=f\left(u\right)=\sqrt{u}. Последняя функция определена при u ≥ 0, т. е. 4 – x2 ≥ 0. Решив последнее неравенство, получим: –2 ≤ x ≤ 2. Таким образом, в качестве области определения промежуточной функции u = 4 – х2 нужно в данном случае взять множество X = [–2; 2]. Это множество является и областью определения сложной функции y=f\left[g\left(x\right)\right]=\sqrt{4-x^2}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 505. Образование сложной функции

y=\sqrt[3]{u}, u=3x^2-5
y = 

y=u^4, u=1-x
y = 

y=u^{100}, u=2x+7
y = 

y=u^{\frac{1}{3}}, u=x^3-x^2
y = 

u=x-6, y=u^{-2}
y = 

u=x-6, y=\sqrt{u}
y = 

Задание 506. Внешняя и внутренняя функции сложной функции

Сложная функция

Внешняя функция

Внутренняя функция

Область определения

y=\left(3x-1\right)^4

X = 

y=\sqrt{x-3}

X = 

y=\left(x^2-4\right)^3

X = 

Сложная функция

Внешняя функция

Внутренняя функция

Область определения

y=\left(4x^2+5\right)^{-2}

X = 

y=\sqrt[4]{x^2-1}

X = 

y=\sqrt[3]{x^6+x}

X = 

Сложная функция

Внешняя функция

Внутренняя функция

Область определения

y=\left(x^3-x+1\right)^{\frac{1}{2}}

X = 

y=\tan2x

X = 

y=5-\sqrt{6x-1}

X = 

Задание 507. Образование сложной функции

Даны функции f\left(x\right)=2x+5 и g\left(x\right)=\sqrt{x}. Образуйте сложные функции y=f\left[g\left(x\right)\right] и y=g\left[f\left(x\right)\right], т. е. считая в одном случае функцию f внешней, а в другом случае – внутренней функцией.

y = 

h = 

Задание 508. Образование сложной функции

f (x)

g (x)

f [g (x)]

g [f (x)]

x^2

\sqrt{x-1}

x^8

2x^4+1

x^{\frac{1}{3}}

2x^3+4

\sqrt{4-x^2}

x^2

Задание 509. Образование сложной функции

f (x)

f –1(x)

f [ f –1(x)]

f –1[ f (x)]

\sqrt{x+1}

2x-1

3-2x

Seotud sisu
Muud tegevused