Показательная функция y = ex

Среди показательных функций вида у = ах особое место занимают функции с основанием e (≈ 2,72) или e–1. 

Функция y = ex [понятие: Показательная функция 𝑦 = 𝑒ˣ (eksponent­funktsioon 𝑦 = 𝑒ˣ) – показательная функция, основанием которой является иррациональное число 𝑒.](рис. 3.11) есть частный случай функции y = ax, где a > 1, и потому имеет те же основные свойства. Функция y = (e–1)x, или y = e–x, есть частный случай функции y = ax, где 0 < a < 1 (рис. 3.12).

Рис. 3.11
Рис. 3.12

Значения функций y = ex и y = e–x можно найти из соответствующих таблиц или с помощью калькулятора, на котором есть клавиша ex. Пользоваться ею следует так же, как клавишей 10x.

Пример 1.

Степень e4,014 вычисляется по схеме: 4,014 ex или ex 4,014 =. Получим: e4,014 ≈ 55,3679.

Вычислим е–0,0001: 0,0001 +/– ex или ex 0,0001 +/– = и получим: e–0,0001 ≈ 0,9999000.

Если на калькуляторе вместо клавиши +/– имеется клавиша (–), то обычно знак „–” нужно ввести перед числом.

Пример 2.

Чтобы вычислить сумму степеней, например, e2,5 + e–0,201, обычно пользуются схемой 2,5 ex + 0,201 +/– ex = или схемой ex 2,5 + ex 0,201 +/– =. В результате получим e2,5 + e–0,201 ≈ 13,0004.

По образцу примера 2 можно вычислять e^{x_1}-e^{x_2}, e^{x_1}\cdot e^{x_2} и e^{x_1}:\ e^{x_2}. В двух последних случаях результат можно получить также с помощью выражений e^{x_1+x_2}  и e^{x_1-x_2}.

Пример 3.

Вычисление степени e^{3,2-\sqrt{3}} выполняется по схеме ( 3,2 – √ 3 ) = ex или ex ( 3,2 – √ 3 ) =. 

Получим: e^{3,2-\sqrt{3}}\approx4,3403.

Пример 4.

Выясним, что больше, e–3 или e–5. Для этого найдем частное этих величин: если оно больше 1, то делимое больше делителя, а если меньше 1, то наоборот (если частное равно 1, то делимое равно делителю). Так как e–3 : e–5 = e–3 – (–5) = e2 > 1, то e–3 > e–5.

С помощью графика функции y = ex тот же результат получить проще. Так как функция возрастающая, то большему значению аргумента (–3 > –5) соответствует большее значение функции, значит, e–3 > e–5.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 607. Число e

e^2 = 

e^{5,03} = 

e^{0,45} = 

e^{1,258} = 

e^{-3} = 

e^{-1,3} = 

e^{-0,08} = 

e^{-9} = 

\sqrt[3]{e} = 

\sqrt{e} = 

\sqrt[7]{e} = 

\sqrt[4]{e} = 

\sqrt{e^3} = 

\sqrt[5]{e^2} = 

\sqrt[4]{e^{-3}} = 

\sqrt[7]{e^{4,04}} = 

Задание 608. Число e

e^{0,76\cdot1,7-2,56} = 

e^{55\cdot0,083+14,72} = 

0,264\cdot\sqrt[3]{e}+5,606 = 

Задание 609. Число e

e^5\cdot e^2 = 

e^{4,3}:\ e^{-1,7} = 

\left(e^{0,85}\right)^2 = 

e^{\sqrt{3}}\cdot e^{-2\sqrt{3}} = 

e^{2+\sqrt{5}}:\ e^{1+\sqrt{5}} = 

\left(e^{\sqrt{6}}\right)^{2\sqrt{6}} = 

2^e\cdot5^e = 

7^{2e}:\ 7^{3e} = 

Задание 610. График показательной функции

y=2e^x

y=0,6e^x

y=e^{x-2}

y=2,5e^{-x}

Задание 611. Сравнение

e^3  e^5

e^{0,2}  e^{0,4}

e^8  e^{-0,08}

e^{-3}  e^{-2}

Задание 612. Решение показательных уравнений

e^{2x}=e^8
x = 

e^{3x-1}=1
x = 

e^{4-3x}=e^7
x = 

e^{-x}=e^3
x = 

e^{2x-2}=0
x = 

e^{2x+3}=e^{2+2x}
x = 

Задание 613. Давление воздуха

Ответ: на высоте 2000 м над уровнем моря давление воздуха составляет  мм рт. ст., а на высоте 4000 м –   мм рт. ст.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 614. Решение показательных неравенств

e^x<e^8
x  

e^x>1
x  

e^x>e
x  

e^x<e^{0,66}
x  

e^{-x}>e^{-4}
x  

e^{-x}<e^{-1,1}
x  

2e^x>e^x
x  

e^x<5^x
x  

e^{-x}<4^x
x  

Задание 615. Цепная линия

Найдите область определения, нули, область положительности и область отрицательности функции y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. Начертите график этой функции (например, с помощью компьютера) в интервале –3,5 < x < 3,5. Полученная линия называется цепной линией, так как такую форму принимает тяжелая цепь, подвешенная за два конца. Каковы множество значений, интервалы возрастания и убывания этой функции?

Ответ: X = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; Y = ; X\uparrow = ; X\downarrow = .

Задание 616. Цепная линия

График функции y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, построенный в предыдущем задании, похож на параболу. Чтобы увидеть различие между этими линиями, постройте в той же системе координат график функции y = x2 + 1. Какое отличие можно подметить? Который из этих графиков имеет более крутой подъем (спуск) и в каких промежутках?

 

Задание 617. Загрязненность свинцом

Степень загрязненности обочин дорог свинцом[cноска: Приведенная в задаче формула взята из статьи: U. Mander. Autoteed saastekolletena. “Eesti Loodus”, 1985, nr. 5, с. 311.] (в миллиграммах на квадратный метр в год) вычисляется по формуле[cноска: Ülesandes esitatud seos pärineb Ü. Manderi artiklist „Auto­teed saaste­kolletena“, Eesti Loodus, 1985, nr 5, lk 331.] C=0,012\cdot A\cdot e^{-0,11k}+0,37\sqrt[3]{A}, где A – интенсивность движения (число транспортных средств) в сутки и k – расстояние от края дороги в метрах. Постройте графики зависимости между величинами C и k для дорог, по которым проезжало соответственно 1000 и 3000 транспортных средств в сутки (в Эстонии в 1980-х годах было примерно 2200 км таких дорог). Пределом безопасности считается степень загрязненности 10 мг/м2 свинца в год. На каком расстоянии от края дороги начиналась безопасная зона в каждом из этих случаев? Во сколько раз в каждом из данных случаев загрязненность дорожного полотна превышала допустимую норму?

Ответ: в случае 1000 транспортных средств загрязненность превышает допустимую норму в  раз(а), а в случае 3000 транспортных средств – в  раз(а). Безопасная зона в случае 1000 транспортных средств начинается примерно на расстоянии  м от края дороги, а в случае 3000 транспортных средств – примерно на расстоянии  м.

Задание 618. Загрязненность свинцом

Степень загрязненности обочин дорог свинцом (в миллиграммах на квадратный метр в год) вычисляется по формуле C=0,012\cdot A\cdot e^{-0,11k}+0,37\sqrt[3]{A}, где A – интенсивность движения (число транспортных средств) в сутки и k – расстояние от края дороги в метрах.

  • По данным предыдущей задачи постройте графики зависимостей между величинами A и C, если:
    1. k = 0 м и
    2. k = 10 м.
  • При какой интенсивности движения степень загрязненности превышала разрешенную норму (10 мг/м2) на поверхности дорожного полотна, на расстоянии 10 м от края и на расстоянии 20 м от края дороги? Ответ выразите с точностью до 100 автомашин.
    Ответ: на поверхности дорожного полотна степень загрязненности превышала разрешенную норму при интенсивности движения в  автомашин в сутки, а на расстоянии 10 м от края – при интенсивности движения в  автомашин в сутки.
  • Если в сутки по дороге проезжало более 3000 автомашин, то рекомендовалось устраивать вдоль дороги буферную зону шириной 20 м, на которой не разрешалось высаживать пищевые культуры. Проверьте с помощью вычислений, достаточна ли была такая ширина буферной зоны.
Задание 619. График показательной функции
Seotud sisu
Muud tegevused