Показательная функция

В предыдущем разделе мы выяснили, что возрастание или убывание некоторой величины по закону сложных процентов выражается функцией натурального аргумента y = ca^x, где x ∈ N и a > 1 или 0 < a < 1. Теперь мы рассмотрим функцию y = ca^x для произвольных действительных значений аргумента, т. е. при x ∈ R, a ∈ R⁺, a ≠ 1, c ∈ R.

Далее мы будем рассматривать в основном показательные функции вида y = a^x.

Рассмотрим свойства показательной функции y = a^x.

В самом деле, при a > 0 степень a^x с любым действительным показателем х всегда положительна.

Это свойство следует из предыдущего.

Действительно, если x = 0, то y = a⁰ = 1.

Действительно, если x = 1, то y = a¹ = a.

Это свойство вытекает из сформулированных в теореме § 3.1 свойств степени: если r₁ < r₂ (r₁, r₂ ∈ R), то при a > 1 получим a^{r_1}<a^{r_2}, при 0 < a < 1 получим a^{r_1}>a^{r_2}.

Сказанное вытекает из свойства 5 и того обстоятельства, что последовательность с общим членом aⁿ (a > 1, n ∈ N) является неограниченно возрастающей.

Пусть a > 1. Если x < 0, то это можно записать в виде x=-\left|x\right|, а значения функции y = a^x – в виде y=a^{-\left|x\right|}, или y=\frac{1}{a^{\left|x\right|}}. Тогда при x → –∞, т. е. –|x| → –∞, получим, что |x| → ∞ и \frac{1}{a^{\left|x\right|}}\to0, т. е. a^–|x| → 0, иначе говоря, a^x → 0. В краткой записи: если a > 1 и x → –∞, то y → 0. Таким образом, свойство 6 дополняется следующим образом:

Если двигаться справа налево, то график функции y = a^x, где a > 1, будет неограниченно приближаться к оси абсцисс. При этом график не пересекает ее, так как функция не имеет нулей.

Прямую, к которой неограниченно приближается некоторая линия (например, график функции) при неограниченном удалении от начала координат, называют асимптотой[cноска: От греческого слова асюмптотос – не совпадающий.] этой линии (графика). Асимптотой графика функции y = a^x, где a > 1, является ось абсцисс.

В случае функции y = a^x, 0 < a < 1, соответствующее свойство 6 можно сформулировать следующим образом.

Сказанное вытекает из свойства 5 и того обстоятельства, что последовательность с общим членом aⁿ (0 < a < 1, n ∈ Z⁺) является убывающей и бесконечно малой.

Рассмотренный пример позволяет высказать гипотезу о том, что

Для доказательства воспользуемся изученным в § 2.14: при симметричном отображении графика функции y = f(x) относительно оси ординат получается график функции y = f(–x). Выполнив такое преобразование графика функции y = a^x, получим симметричный ему относительно оси Оу график функции y=a^{-x}, то есть функции y=\left(\frac{1}{a}\right)^x.

На рисунках 3.6 и 3.7 показано, как влияет увеличение основания а на форму графика функции y = a^x при а > 1 (рис. 3.6) и при 0 < a < 1 (рис. 3.7).

Если возрастание или убывание некоторой величины y задается равенством y = a^x, то говорят, что возрастание (a > 1) или убывание (0 < a < 1) происходит по закону показательного роста[понятие: Закон показательного роста (eksponentsiaalne kasvamine) – возрастание величины 𝑦 по закономерности 𝑦 = 𝑎ˣ, где 𝑎 > 1.] (или убывания[понятие: Закон показательного убывания (eksponentsiaalne kahanemine) – убывание величины 𝑦 по закономерности 𝑦 = 𝑎ˣ, где 0 < 𝑎 < 1.]). Этот закон называют также экспоненциальным законом (роста или убывания). Как уже отмечалось, этому закону подчиняется изменение величины, последовательность значений которой строится по формуле сложных процентов (см. § 3.2).

Рассмотрим теперь функцию y = c · a^x, где с > 0. График этой функции можно получить из графика функции y = a^x, если умножить ординату каждой точки последнего графика на число с (см. § 2.14). На рисунке 3.8 (а и б) видно, что крутизна подъема (или спуска) этого графика тем больше, чем больше положительный коэффициент с.

График функции y = –c · a^x, где с > 0, симметричен графику функции y = c · a^x относительно оси абсцисс (рис. 3.9).

В примере 8 § 3.1 мы решили неравенства 1) 0,6^x > 0,6⁵ и 2) 1,3^x+1 < 1,3², опираясь на свойства степени. Другой способ решения – графический. При этом нужно учитывать, показательная функция является возрастающей или убывающей.

Путем сравнения графиков различных показательных функций удается решать и более сложные неравенства.