Равенство ar = N, где a > 0 и a ≠ 1, связывает между собой три числа. Если два из них даны, то можно найти и третье. Чтобы найти число N по данным a и r, нужно возвести a в степень r; чтобы найти число а, нужно возвести N в степень
Пример 1.
Если a = 2 и r = 4, то N = 24 = 16;
если же N = 216 и r = 3, то a3 = 216, откуда
Выясним теперь, как из равенства ar = N по заданным числам a и N найти показатель степени r.
Пусть 2r = 32. Методом подбора найдем, что r = 5, так как 25 = 32. Этот результат записывают следующим образом: r = log2 32 = 5. Символ log2 32 читается[cноска: От греческих слов логос – отношение и аритмос – число.]: логарифм числа 32 по основанию 2.
В общем случае: если ar = N, где a > 0 и a ≠ 1, то r = loga N. Итак, число loga N определяется следующим образом:
логарифмом [понятие: Логарифм числа (arvu logaritm) – логарифмом числа 𝑁 по основанию 𝑎 называется такое число (показатель степени) 𝑟, что 𝑎ʳ = 𝑁. Обозначение: 𝑟 = logₐ 𝑁. Читают: 𝑟 есть логарифм числа 𝑁 по основанию 𝑎]числа N по основанию a, где а > 0 и а ≠ 1, называется показатель степени r, в которую нужно возвести a, чтобы получить число N,
т. е.
или
.
Следствия.
- Логарифм можно найти только для положительного числа, т. е. N > 0.
- Логарифм основания логарифма равен единице, т. е. loga a = 1.
- Логарифм числа 1 равен нулю, т. е. loga 1 = 0.
Наименования компонентов при вычислении логарифма следующие:
Пример 2.
Пример 3.
Найдем логарифмируемое число N, если
По определению логарифма
Пример 4.
Если
Если основание логарифма a = 10, то вместо log10 N пишут log N (встречается также обозначение[cноска: В Эстонии принято обозначение log N. В российской математической литературе используется обозначение lg N.] lg N), этот логарифм называется десятичным логарифмом[понятие: Десятичный логарифм (kümnendlogaritm) – логарифм, основанием которого является число 10. Вместо обозначения log₁₀ 𝑁 обычно пользуются обозначением log 𝑁, иногда также lg 𝑁.] числа N. Если основанием логарифма является число е, то вместо loge N пишут ln N и логарифм называется натуральным логарифмом[понятие: Натуральный логарифм (naturaallogaritm) – логарифм, основанием которого является иррациональное число 𝑒. Обозначение: ln 𝑁.] числа N (ln есть сокращение слов „логарифм натуральный”).
Пример 5.
Если log N = –2, то N = 10–2 = 0,01; если ln N = 2, то N = e2 ≈ 7,39.
Десятичный логарифм log N и натуральный логарифм ln N числа N можно найти с помощью калькулятора. Для этого на калькуляторе есть клавиши lg или log и ln. Значения log N и ln N вычисляются по следующим схемам:
N log и N ln или же log N = и ln N =.
Пример 6.
Значение log 0,00708 вычислим по схеме 0,00708 log или по схеме log 0,00708 =, в результате получим, что log 0,00708 ≈ –2,149967; это значит, что 10–2,149967 ≈ 0,00708.
Значение ln 2783 вычислим по схеме 2783 ln или по схеме ln 2783 =, в результате получим, что ln 2783 ≈ 7,931285; это значит, что e7,931285 ≈ 2783.
