Логарифмирование и потенцирование выражений

Докажем некоторые теоремы, выражающие свойства логарифма (напомним, что все логарифмируемые числа должны быть положительными).

ТЕОРЕМА 1.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, т. е.
loga N1N2 = loga N1 + loga N2.

Доказательство.

Пусть loga N1 = r1 и loga N2 = r2.

Тогда N_1=a^{r_1} и N_2=a^{r_2}, откуда N_1N_2=a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}.

По определению логарифма из равенства N_1N_2=a^{r_1+r_2} имеем:

r_1+r_2=\log_aN_1N_2,   или   \log_aN_1N_2=\log_aN_1+\log_aN_2. ♦

Пример 1.

Вычислим log 200, если известно, что log 2 ≈ 0,3010. Так как 200 = 2 · 100, то

log 200 = log (2 ⋅ 100) = log 2 + log 100 ≈ 0,3010 + 2 ≈ 2,3010.

ТЕОРЕМА 2.

Логарифм частного равен разности логарифма делимого и логарифма делителя, т. е.
logaN1N2=logaN1-logaN2​.

Доказательство.

Обозначим снова loga N1 = r1 и loga N2 = r2. Тогда N_1=a^{r_1} и N_2=a^{r_2}, откуда

\frac{N_1}{N_2}=\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}}=a^{r_1-r_2}.

По определению логарифма из равенства \frac{N_1}{N_2}=a^{r_1-r_2}, получим, что

r_1-r_2=\log_a\frac{N_1}{N_2}   или   \log_a\frac{N_1}{N_2}=\log_aN_1-\log_aN_2. ♦

Пример 2.

Вычислим log 0,0002, если известно, что log 2 ≈ 0,3010. Так как 0,0002 = 2 : 10 000, то

\log0,0002 = \log\frac{2}{10\ 000} = \log2-\log10\ 000 ≈ 0,3010-4 = -3,6990.

ТЕОРЕМА 3.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания, т. е.
​loga Nc = c loga N.

Доказательство.

Пусть loga N = r, то N=a^r и N^c=a^{cr}. Согласно определению логарифма из равенства Nс = acr получим, что

cr=\log_aN^c,   или   \log_aN^c=c\log_aN. ♦

Пример 3.

Вычислим \log\sqrt[3]{2}, если известно, что log 2 ≈ 0,3010. Поскольку \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}, то

\log\sqrt[3]{2} = \log2^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\log2 ≈ 0,1003.

Полученными формулами пользуются также при логарифмировании выражений[понятие: Логарифмирование выражения (avaldise logaritmimine) – выражение логарифма выражения через логарифмы его составляющих.], т. е. в тех случаях, когда логарифм данного выражения нужно выразить через логарифмы его составляющих.

Пример 4.

Прологарифмируем выражение y по основанию a, если

y=\frac{49x^3}{8u^5\sqrt[3]{v^2}} и x, u, v > 0:

\log_ay = \log_a\frac{49x^3}{8u^5\sqrt[3]{v^2}} = \log_a49x^3-\log_a8u^5\sqrt[3]{v^2} = \log_a49+\log_ax^3-\left(\log_a8+\log_au^5+\log_av^{\frac{2}{3}}\right) = 2\log_a7+3\log_ax-3\log_a2-5\log_au-\frac{2}{3}\log_av.

Пример 5.

Вычислим десятичный логарифм выражения 4u4v5, если известно, что log 2 ≈ 0,301, log u = 2,5 и log v = –3. Получим:

\log4u^4v^5 = \log4+\log u^4+\log v^5 = 2\log2+4\log u+5\log v ≈ 2\cdot0,301+4\cdot2,5+5\cdot\left(-3\right) = -4,398.

Пример 6.

Решим уравнение 3x = 23,5.

Прологарифмируем обе части данного равенства по основанию 10.

В результате получим равенство x log 3 = log 23,5, откуда

x=\frac{\log23,5}{\log3}\approx2,874.

Отыскание выражения по его логарифму называется потенцированием[понятие: Потенцирование выражения (avaldise potentseerimine) – отыскание выражения по его логарифму.]. При преобразовании выражений, содержащих логарифмы, часто приходится пользоваться приведенными в теоремах 1–3 формулами, читая их справа налево.

Пример 7.

Найдем число x, если log9 x = 2,5.

Чтобы найти x, выполним потенцирование равенства log9 x = 2,5. В результате получим, что x = 92,5, или x = 35 = 243.

Пример 8.

Найдем выражение z, если \log_7z=6\log_72+3\log_7u+\frac{2}{3}\log_7v-4\log_7w.

Для нахождения выражения z преобразуем правую часть данного равенства:

6\log_72+3\log_7u+\frac{2}{3}\log_7v-4\log_7w = \log_72^6+\log_7u^3+\log_7v^{\frac{2}{3}}-\log_7w^4 = \log_764u^3\sqrt[3]{v^2}-\log_7w^4 = \log_7\frac{64u^{3\sqrt[3]{v^2}}}{w^4}.

Потенцируя равенство \log_7z=\log_7\frac{64u^3\sqrt[3]{v^2}}{w^4}, получим:

z=\frac{64u^3\sqrt[3]{v^2}}{w^4}.

Пример 9.

Средний годовой прирост населения Африки в 1970–2006 годах составлял 2,62% и к 2006 году численность этого населения была 925 миллионов человек. Найдем, к какому году численность населения Африки удвоится, возрастая такими же темпами.

Так как численность населения возрастает по закону сложных процентов, то

925 ⋅ (1 + 2,62 : 100)n = 2 ⋅ 925, откуда 1,0262n = 2.

Прологарифмируем последнее равенство по основанию 10: log 1,0262n = log 2. В силу свойства логарифма степени получим: n ⋅ log 1,0262 = log 2 и n = log 2 : log 1,0262 ≈ 26,8. Таким образом, в сравнении с 2006 годом, население Африки удвоится в 2033 году.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 633. Логарифмирование выражений

xy^2, если a = 10

8x^{-4}y^6, если a = 2

u^9:\ c^3, если a = e

b^2\left(c^5b^8\right), если a = b

27x^{12}y^5z^{-3}, если a = 3

81u^{1,5}\sqrt{v^5}, если a = 2

Задание 634. Вычисления

\log32 =  = 

\log0,04 =  = 

\log\sqrt{5} =  = 

\log\sqrt[5]{2} =  = 

\log\sqrt[3]{5} =  = 

\log\sqrt[4]{2} =  = 

\log\frac{2}{5} =  = 

\log\frac{25}{128} =  = 

\log\left(2^{-7}\cdot5^4\right) =  = 

\log12,5 =  = 

\log0,8 =  = 

\log100 =  = 

Задание 635. Вычисления

Число

Десятичный логарифм числа

19,5

195

1950

19 500

Число

Десятичный логарифм числа

0,195

0,00195

1,95 ⋅ 10–10

19,55

Задание 636. Потенцирование

\log x=0,51\log a
x = 

\log x=3\ \log a+\log b
x = 

\log x=-\log u
x = 

\log x=2\ \log u-3\log v
x = 

\log x=0,5\log a+5\log b
x = 

\log x=u\log2-2\log u
x = 

\log x=1+\log b-\log a
x = 

\log x=3-\log5-\log c
x = 

\ln x=5\ln2\ +3\ln a
x = 

\ln x=-4\ln a-\ln\left(a+b\right)
x = 

\log_7x=\log_7c-91\log_7b
x = 

\log_2x=0,25\log_216-\log_2a
x = 

Задание 637. Решение логарифмических уравнений

\log x=2\log7+\log2
x = 

\log2-\log x=\log3
x = 

\log_4x=3\log_42+\frac{2}{3}\log_45
x = 

\log_2x+4\log_23-1=0
x = 

\ln3+\frac{1}{2}\ln5+\frac{1}{2}\ln x=\ln6
x = 

\ln x-\ln\left(x-1\right)=\ln2
x = 

5\log_2x=3\log_2x+6
x = 

2\log x-\log12=\log x
x = 

Задание 638. Численность населения Европы и Азии

Ответ: численность населения Европы возрастала в среднем на % в год. При таком же темпе прироста численности населения население Европы удвоится примерно через  лет.

Ответ: численность населения Азии возрастала в среднем на % в год. При том же темпе прироста населения численность населения Азии удвоится через лет (года).

Задание 639. Сбор средств на покупку автомобиля

Ответ: он сможет купить автобиль через  лет.

Задание 640. Тормозной путь автомобиля
Рис. 3.13

Ответ: a = , b = 

y = 

Вычислите по формуле длину тормозного пути автомобиля при скорости 45 км/ч, 65 км/ч, 95 км/ч, 120 км/ч и сравните полученные результаты с найденными с помощью чертежа.

Ответ: при скорости 45 км/ч длина тормозного пути равна  м; при скорости 65 км/ч –  м; при скорости 95 км/ч –  м; при скорости 120 км/ч –  м.

Задание 641. Остывание воды
  • На основании таблицы постройте график зависимости температуры остывающей воды от времени.
  • Предполагая, что зависимость выражается в виде T = ae–bx, где переменная x обозначает время и T – температуру, найдите параметры a и b.

    Ответ: a = °, b = 
  • Вычислите температуру воды через 2; 15; 43; 50 минут после начала остывания.

    Ответ: через 2 минуты после начала остывания температура воды будет  °; через 15 минут – °; через 43 минуты – °; через 50 минут – °.
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 642. Логарифмирование выражений

a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}

a^{4n+5}

u\sqrt[4]{v^3}\ :\ \left(v^3\sqrt[5]{u^2}\right), если a = 3

4u\sqrt[8]{u^3v^{-2}}, если a = 4

Задание 643. Вычисления

\log\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt{2}} =  = 

\log\frac{10}{\sqrt{5}} =  = 

\log\frac{5}{2} =  = 

\log2\sqrt{5} =  = 

\log\left(\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{5}\right) =  = 

\log\left(5\cdot\sqrt[5]{2}\right) =  = 

Задание 644. Решение показательных уравнений

2^x=80
x ≈ 

5^x=1,7
x ≈ 

4^x=0,033
x ≈ 

1,4^x=9
x ≈ 

0,8^x=5
x ≈ 

45^x=1000
x ≈ 

Задание 645. Решение показательных уравнений

2^{4x}=2^{3,5}
x = 

3,09^x=2,63^{x+1}
x ≈ 

2^x=3^{5-x}
x ≈ 

7,08^{4x}=9,55^{5x-5}
x ≈ 

Задание 646. Доказательство

Задание 647. Доказательство

Среднее геометрическое положительных чисел x1, x2, …, xn определяется равенством \overline{x_g}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot...\cdot x_n}.

Докажите, что среднее арифметическое логарифмов заданных чисел равно логарифму среднего геометрического этих чисел.

Задание 648. Среднее геометрическое

Данные числа

Среднее геометрическое

240; 540

8; 27; 125

18; 49; 84

2; 6; 9; 12

Задание 649. Доказательство

Докажите, что a2 + b2 = 7ab, если \log\frac{a+b}{3}=\frac{\log a+\log b}{2}.

Задание 650. Доказательство

Докажите, что \frac{a+1-2b}{2}=\log5, если a = log 122,5, b = log 7.

Задание 651. Максимальная безопасная скорость
Рис. 3.13

Ответ: максимальная безопасная скорость может быть примерно км/ч.

Задание 652. Размножение бактерий

Ответ: k = . Масса бактерий удваивается за  ч.

Задание 653. Зависимость количества древесины от угла наклона поверхности

Предполагая, что зависимость между углом x наклона поверхности и количеством y древесины выражается равенством y = axb + c, найдите параметры a, b и c.

Ответ: a = , b = , c = .

Вычислите количество древесины, получаемое с участка, уклон которого составляет: 8°; 15°; 30°; 42°; 50°; 55°; 60°.

Угол наклона

8°

15°

30°

42°

50°

55°

60°

Количество древесины

Задание 654. Окуни и плотва
Рис. 3.14

Рисунок взят из статьи: M. Kangur. Kala pikkuse ja kaalu vahelisest seosest. „Eesti Loodus”, 1970, nr. 7, с. 445.

Ответ: для окуня a = , b = , а для плотвы a = , b = .

  • Вычислите массу рыбы, если ее длина равна 15 см; 28 см.

Ответ: при длине 15 см масса окуня равна  г, а масса плотвы –  г. При длине 28 см масса окуня равна  г, а масса плотвы –  г.

Задание 655. Окуни и плотва
Рис. 3.14

Рисунок взят из статьи: M. Kangur. Kala pikkuse ja kaalu vahelisest seosest. „Eesti Loodus”, 1970, nr. 7, с. 445.

Ответ: для окуня a = , c =  , а для плотвы a = , c = .

  • Вычислите массу рыбы, если ее длина равна 15 см; 28 см.

Ответ: при длине 15 см масса окуня равна  г, а масса плотвы –  г. При длине 28 см масса окуня равна  г, а масса плотвы –  г.

Seotud sisu
Muud tegevused