Нахождение экстремумов с помощью второй производной

Мы уже знакомы с одним из способов нахождения экстремумов функции с помощью производной. Сначала находят критические точки функции y = f (x), т. е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, а затем применяют сформулированные в § 5.5 признаки существования экстремума.

Если слева от критической точки х0 производная положительна, а справа отрицательна, то в точке х0 функция имеет максимум; если же слева от точки х0 производная отрицательна, а справа положительна, то в точке х0 функция имеет минимум.

Нахождение экстремумов можно существенно упростить с помощью второй производной. Как уже отмечалось, производная функции y = f (x) сама является некоторой функцией g (x) = f '(x), где х принимает все значения, при которых функция y = f (x) дифференцируема. Эта новая функция может иметь производную g'(x) =[f '(x)]', которая называется второй производной функции[понятие: Вторая производная функции (funktsiooni teine tuletis) – производная, взятая от производной  𝑓´(𝑥)  данной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Обозначение: 𝑓´´(𝑥) = [𝑓´(𝑥)]´.] y = f (x) и обозначается y'' или f ''(x). Таким образом,

 f ''(x) =[f '(x)]', или y'' = (y')'.

Выясним на основании конкретных примеров, как с помощью второй производной можно найти экстремумы функции и определить их вид.

Задание 990. Функция и ее производная
  1. Найдите точки экстремума функции y = f (x), а также интервалы монотонности функции g(x) = f ´(x).
    Ответ: для функции f (x) получается, что xmax =  и xmin = . Для функции g (x) получается, что X\uparrow =  и X\downarrow = .
  2. Найдите на чертеже, какому из полученных интервалов монотонности функции g(x) = f ´(x) принадлежит точка максимума и какому – точка минимума функции y = f (x).
    Ответ: точка максимума функции f (x) принадлежит интервалупроизводной g(x), а точка минимума – интервалуфункции g(x).

Проведите такое же исследование для функции f (x) = –x3 + 2x2 + x – 2 (рис. 5.19).

Рис. 5.18
Рис. 5.19

При решении задания 990 мы обнаружили, что точка максимума функции y = f (x) принадлежит интервалу убывания функции g(x) = f ´(x), а точка минимума – интервалу возрастания производной. Ниже мы покажем, что это – не случайность. Таким образом, в точке максимума функции y = f (x) выполнено неравенство g (x)' ≤ 0, а в точке минимума – неравенство g (x)' ≥ 0.

Если в точке x0 функция y = f (x) дважды дифференцируема и имеет максимум (минимум), то f ''(x0) ≤ 0 (соответственно f ''(x0) ≥ 0).

К тому же результату приводит более общее рассуждение. Предположим, что в точке x0 функция y = f (x) дважды дифференцируема, т. е. имеет вторую производную f ''(x0). Пусть в точке x0 функция y = f (x) имеет максимум (рис. 5.20).

Рис. 5.20

Тогда f ''(x0) = 0 (касательная параллельна оси абсцисс). Кроме того, если мы будем в окрестности точки x0 двигаться слева направо и следить за наклоном касательной, то заметим, что угол наклона, а значит и угловой коэффициент касательной, уменьшается (например, слева от х0 функция g (x) = f '(x) положительна, а справа – отрицательна). На рисунке 5.20 видно, что при этом касательная поворачивается „по часовой стрелке”, т. е. ее угловой коэффициент f ′(x) убывает в окрестности точки x0. Однако (см. § 5.4) убывание функции g (x) = f ′(x) в окрестности точки х0 характеризуется тем, что g'(x0) ≤ 0, т. е. f ''(x) ≤ 0.

Задание 991. Исследование поведения производной данной функции
  1. Какой знак имеет производная f '(x) слева от нее и какой – справа?
  2. Функция g(x) = f '(x) вблизи этой точки возрастает или убывает?
  3. Какому условию должно удовлетворять значение второй производной функции y = f(x) в точке минимума?

Спросим теперь, справедливы ли для приведенных выше утверждений и обратные утверждения, т. е. всегда ли из условия f ''(x0) ≥ 0 (f ''(x0) ≤ 0) вытекает, что функция f (x) имеет в точке x0 минимум (максимум). Оказывается, что обратные утверждения справедливы лишь в случае строгих неравенств. В § 5.7 мы увидим, что бывают случаи, когда f ''(x0) ≥ 0 но функция не имеет в этой точке экстремума.

Справедливо следующее утверждение:

если f '(x0) = 0 и f ''(x0) < 0, то в точке x0 функция y = f (x) имеет максимум;

если f '(x0) = 0 и f ''(x0) > 0, то в точке x0 функция y = f (x) имеет минимум.

Пример 1.

Найдем экстремумы функции y = x – ln x и определим их вид.

Функция определена на интервале (0; ∞) и имеет всюду на этом интервале производную y'=1-\frac{1}{x}. Значит, критическими точками могут быть только такие, в которых y' = 0. Из уравнения 1-\frac{1}{x}=0 получим, что x = 1.

Таким образом, рассматриваемая функция может иметь экстремум только в точке x = 1. Найдем вторую производную: y''=\frac{1}{x^2} и y''\left(1\right)=1. Так как y''\left(1\right)>0, то в точке x = 1 функция имеет минимум.

Найдем также минимум функции y=x-\ln x, т. е. ее значение в точке минимума:

y\left(1\right)=1-\ln1=1.

Ответ: в точке x = 1 функция y=x-\ln x имеет минимум, y(1) = 1; в краткой записи: min (1; 1).

Пример 2.

Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции y=x^3+3x^2-9x+1, а также сделаем эскиз ее графика.

Экстремумы функции можно найти сразу. Имеем:

y'=3x^2+6x-9,

поэтому функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем критические точки (в данном случае это могут быть только нули производной):

3x^2+6x-9=0 ⇒ x_1=-3, x_2=1.

Найдем вторую производную: y''=6x+6.

Так как y''\left(-3\right)=-12<0 ja y''\left(1\right)=12>0, то в точке x_1=-3 функция имеет максимум, а в точке x_2=1 – минимум.

Вычислим экстремумы функции, т. е. ее значения в точках экстремума:

y\left(-3\right)=-27+27+27+1=28 и y\left(1\right)=1+3-9+1=-4.

Чтобы найти интервалы возрастания функции, решим неравенство 3x^2+6x-9>0 и получим, что X_1\uparrow=\left(-∞;\ -3\right) и X_2\uparrow=\left(1;\ ∞\right).

Интервал убывания найдем, решив неравенство 3x^2+6x-9<0. Получим, что X\downarrow=\left(-3;\ 1\right).

Отметим на координатной плоскости точки графика, соответствующие экстремумам, и интервалы монотонности (рис. 5.21, а).

Рис. 5.21

График функции должен в интервале (–3; 1) пересекать ось абсцисс. Выясним, есть ли другие точки пересечения – такие точки могут быть только в интервалах (–∞; –3) и (1; ∞), причем не более чем по одной, так как функция в этих интервалах возрастает.

Рассмотрим ход изменения функции при x\to-∞ и при x\to∞.

limx→∞x3+3x2-9x+1 = limx→∞x31+3x-9x2+1x3 = ∞.

limx→-∞x3+3x2-9x+1 = limx→-∞x31+3x-9x2+1x3 = –∞.

Поэтому функция должна иметь по одному нулю в интервалах (–∞; –3) ja (1; ∞). Эскиз графика функции изображен на рисунке 5.21, б.

Пример 3.

Найдем значения параметра а, при которых уравнение x3 + 3x2 – 9x – a = 0 имеет три различных действительных корня.

Корни данного уравнения – это нули функции y = x3 + 3x2 – 9x – a = 0. Значит нужно выяснить, при каких значениях параметра а эта функция имеет три различных нуля. Производная y' = 3x2 + 6x – 9 существует в любой точке x ∈ R.

Решив уравнение 3x2 + 6x – 9 = 0, найдем критические точки x1 = –3 и x2 = 1.

Так как y'' = 6x + 6, y''(–3) = –12 < 0 и y''(1) = 12 > 0, то x1 = –3 является точкой максимума, а точка x2 = 1 – точкой минимума.

Нетрудно увидеть, что y' > 0 на интервалах (–∞; –3) и (1; ∞) и на интервале (–3; 1). Поэтому график функции имеет показанный на рисунке 5.22 вид (для изображенного случая функция имеет только один нуль где-то слева от точки х = –3).

Из рисунка ясно, что данная функция может иметь три нуля только в том случае, когда одновременно выполнены два условия:

y\left(-3\right)>0 и y\left(1\right)<0.

Из этой системы неравенств получим, что

a<27a>-5, т. е. a ∈ (–5; 27).

Рис. 5.22

Так как наша функция непрерывна, убывает на интервале (–3; 1) и имеет на концах интервала значения разных знаков, то в этом интервале функция должна иметь один нуль. Остается проверить, что при любом a ∈ (–5; 27) график функции действительно пересекает ось абсцисс также в интервалах (–∞; –3) и (1; ∞). Но это следует из соотношений

limx→-∞x3+3x2-9x-27=-∞ и limx→∞x3+3x2-9x+5=∞.

Ответ: уравнение x3 + 3x2 – 9x – a = 0 имеет три различных корня при a ∈ (–5; 27).

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 992. Вторая производная функции

y=3x+2
y'' = 

y=-x+5
y'' = 

y=2x^3-4x^2+7
y'' = 

y=-5x^3+2x-3
y'' = 

y=\frac{2}{\sqrt{x}}+x
y'' = 

y=\frac{x}{x^2}-\sqrt[3]{x}
y'' = 

y=\sin x+3\cos x
y'' = 

y=2x-\cos x
y'' = 

Задание 993. Скорость и ускорение движения тела

s\left(t\right)=t^2-3t+2 и t_0=3.

Ответ: скорость движения тела равна , а ускорение равно .

s\left(t\right)=10t^2+3t-5 и t_0=5.

Ответ: скорость движения тела равна , а ускорение равно  .

s\left(t\right)=t^3+10t^2+5t-2 и t_0=2.

Ответ: скорость движения тела равна , а ускорение равно  .

s\left(t\right)=-2t^3+3t^2+125 и t_0=6

Ответ: скорость движения тела равна , а ускорение равно  .

Задание 994. Точки экстремума функции

y=x^2+x+1

Ответ: точкой функции является .

y=2x-2x^2

Ответ: точкой функции является .

y=x^3+3x^2+3x+1

Ответ: точка минимума функции   и точка максимума .

y=\left(1-x\right)^3

Ответ: точка минимума функции  и точка максимума .

y=x^2-2\ln x

Ответ: точкой функции является .

y=3\ln x-x^3

Ответ: точкой функции является .

Задание 995. Точки экстремума графика функции

y=x^3-3x^2-5

Ответ: точкой максимума графика функции является , а точкой минимума – .

y=2x^3-6x^2-18x+7

Ответ: точкой максимума графика функции является , а точкой минимума – .

y=x\left(1-x^2\right)

Ответ: точкой максимума графика функции является , а точкой минимума – .

Задание 996. Точки экстремума графика функции и интервалы монотонности функции

y=x^3-6x^2+9x-3

Ответ: точкой минимума графика является , а точкой максимума – . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

y=x^3-12x+3

Ответ: точкой минимума графика является , а точкой максимума – . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

y=x^4-4x+8

Ответ: точкой минимума графика является , а точка максимума . X\uparrow = , X\downarrow = . Эта функция имеет  нулей.

y=-x^4+32x+4

Ответ: точка минимума графика  , а точкой максимума является . X\uparrow = , X\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

y=9-9x-6x^2-x^3

Ответ: точкой минимума графика является  , а точкой максимума – . X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(ь).

y=1+12x+3x^2-2x^3

Ответ: точкой минимума графика является , а точкой максимума –  . X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

Задание 997. Производственные расходы предприятия
  • Найдите точки экстремума графика и интервалы монотонности этой функции. Сделайте эскиз графика.
    Ответ: точкой минимума графика является  , а точкой минимума – . X\uparrow = , X\downarrow = .
  • Какую информацию о расходах дает этот график?
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 998. Вторая производная функции

y=\left(1+\cos x\right)\left(1-\cos x\right)
y'' = 

y=\left(1-\sin x\right)\left(1+\sin x\right)
y'' = 

y=x^2\cos x
y'' = 

y=x^3\sin x
y'' = 

y=e^{-x}+\ln x
y'' = 

y=\log_ax
y'' = 

Задание 999. Точки экстремума функции

y=\frac{x}{1+x^2}

Ответ: точкой минимума функции является , а точкой максимума .

y=x^2\ln x

Ответ: точкой функции является .

y=2x\ln x

Ответ: точкой функции является .

y=\frac{e^x}{x}

Ответ: точкой функции является .

Задание 1000. Точки экстремума графика функции

y=\sqrt{x^2-6x+5}

Ответ: точками графика являются  и .

y=\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(x-1\right)^2}

Ответ: точкой графика является .

y=e^{2x-x^2}

Ответ: точкой графика функции является .

y=\ln\left(x^2+3x\right)

Ответ: точка минимума графика и точка максимума .

Задание 1001. Точки экстремума графика функции и интервалы монотонности функции

y=x^4-2x^2-5

Ответ: точками экстремума графика являются ,  и . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

y=x^4-8x^2+1

Ответ: точками экстремума графика являются ,  и . X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

y=3x^4-4x^3-6x^2-12x+1

Ответ: точкой экстремума графика является . X\uparrow = , X\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

y=x^4+32x-8

Ответ: точкой экстремума графика является . X\uparrow = , X\downarrow = . Эта функция имеет  нулей(я).

Задание 1002. Число корней уравнения

Задание 1003. Число корней уравнения

4x^3-3x^2-36x-10=0

Ответ: это уравнение имеет  различных действительных корня.

\frac{x^4}{4}-x^3-\frac{x^2}{2}+3x=0

Ответ: это уравнение имеет  различных действительных корня.

Задание 1004. Число корней уравнения

Ответ: a ∈ 

Задание 1005. Число корней уравнения

Ответ: уравнение имеет 4 действительных корня, если a ∈ ; 3 действительных корня, если a ∈ ; 2 действительных корня, если a ∈ ; 1 действительный корень, если a ∈  и уравнение не имеет действительных корней, если a ∈ .

Задание 1006. Число корней уравнения

Ответ: a = 

Seotud sisu
Muud tegevused