Экстремумы функции

Задание 976. Постройка ограды

Обозначим длину участка через х, а его площадь через у. Так как ширина участка должна быть в этом случае 100 – x (рис. 5.12), то площадь у выражается как функция от переменной х следующим образом: y = x(100 – x).

Рис. 5.12

Наша задача свелась к нахождению таких значений аргумента, при которых рассматриваемая функция имеет максимальное значение. Как найти эти значения?

Вспомним понятие экстремума (см. § 2.12).

Экстремум – это общее наименование для максимума и минимума.

Экстремум функции – это ее значение (в точке максимума или в точке минимума).

Точка экстремума – это значение аргумента, при котором функция имеет максимум или минимум.

Точка экстремума графика функции – это точка (х₀; f(x₀)), координатами которой являются точка экстремума х₀ и соответствующее значение (экстремум) функции.

На рисунке 5.13 (а, б) видно, что если дифференцируемая на некотором интервале (a; b) функция y = f(x) имеет максимум или минимум в некоторой точке x₀ ∈ (a; b), то в этой точке проведенная к графику функции касательная параллельна оси абсцисс, другими словами, f ′(x₀) = 0.

Следовательно,

дифференцируемая на некотором интервале функция y = f (x) может иметь экстремум только в такой точке, в которой ее производная равна нулю.

Рис. 5.13

В то же время на рисунке 5.13, в) видно, что не все такие точки, где производная равна нулю, являются точками экстремума.

Кроме того (см. рисунок 5.13, г, д),

непрерывная функция может иметь экстремум и в таких точках, где она не дифференцируема, т. е. не имеет производной.

Мы снова замечаем (рис. 5.13, е), что не все такие точки являются точками экстремума.

Таким образом, точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, являются подозрительными на экстремум – их называют критическими точками[понятие: Критические точки функции (funktsiooni kriitilised kohad) – точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Функция может имет экстремум только в критических точках, но в критической точке может и не быть экстремума.] функции. Мы получили необходимое условие существования экстремума:

функция может иметь экстремум только в критических точках.

Если все критические точки функции найдены, то среди них нужно выделить точки экстремума и установить их вид (точка максимума или точка минимума). Следовательно, нужно знать признаки, достаточные для того, чтобы критическая точка функции была точкой экстремума. Один из таких признаков иллюстрируется рисунком 5.13 (а, б, г, д). Если при переходе через точку х₀ возрастание функции сменяется убыванием, то функция имеет в точке х₀ максимум. Если же убывание функции сменяется возрастанием, то х₀ – точка минимума. Сформулируем правило нахождения точек экстремума.

1. Найдем критические точки функции, т. е. точки, в которых функция непрерывна, а ее производная равна нулю или не существует.

2. Если вблизи критической точки х₀ слева от х₀ производная функции f положительна, а справа от х₀ она отрицательна, то х₀ – точка максимума функции f.

Если вблизи критической точки х₀ слева от х₀ производная функции f отрицательна, а справа от х₀ она положительна, то х₀ – точка минимума функции f.

Если при переходе через точку х₀ производная не меняет знака, то х₀ не является точкой экстремума.

Таким образом, если при переходе через критическую точку х₀ производная меняет знак с „+” на „–”, то х₀ – точка максимума. Если же производная меняет знак с „–” на „+”, то х₀ – точка минимума. Если производная не меняет знак, то х₀ не является точкой экстремума (рис. 5.13, в, е).

Часто требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке[понятие: Наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке (funktsiooni suurim ja vähim väärtus etteantud lõigul) – наибольшее и наименьшее из всех значений, которые принимает функция на данном отрезке. Такие значения функция может принимать в точках экстремума или же на концах отрезка.] наибольшее или наименьшее значение функции на данном отрезке [a; b]. При этом функция может принимать эти значения как в точках экстремума, если они принадлежат интервалу (a; b), так и на концах отрезка, как показано на рисунке 5.14.

Рис. 5.14

Для отыскания наименьшего и наибольшего значений функции на данном отрезке следует найти все критические точки функции, лежащие внутри отрезка, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка и из всех полученных таким образом чисел выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример 1.

Найдем экстремумы функции y=x^3+6x^2-15x+1.

Найдем точки экстремума. Так как функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, то она может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная равна нулю. Имеем: y'=\left(x^3+6x^2-15x+1\right)'=3\left(x^2+4x-5\right), и потому уравнение y' = 0 принимает вид x^2+4x-5=0, откуда x_1=-5 и x_2=1.

Рис. 5.15

Изобразив схематически изменение знака производной (рис. 5.15), мы получаем: x_1=-5 является точкой максимума, а точка x_2=1 – точкой минимума.Найдем экстремумы функции, т. е. ее значения y (–5) и y (1):y\left(-5\right) = \left(-5\right)^3+6\cdot\left(-5\right)^2-15\cdot\left(-5\right)+1 = 101,y\left(1\right) = 1^3+6\cdot1^2-15\cdot1+1 = -7.Ответ: в точке x_1=-5 функция имеет максимум y_1=y\left(-5\right)=101; в точке x_2=1 функция имеет минимум y_2=y\left(1\right)=-7.

Пример 2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y=x^2-8x+15 на отрезке [2; 7].Сначала найдем критические точки функции. Так как производная y' = 2x – 8 определена всюду, то нужно найти только нули производной. Из уравнения 2x – 8 = 0 получим x = 4.Точка х = 4 принадлежит интервалу (2; 7) (в противном случае ее нужно было бы исключить).Вычислим теперь значения функции в точке х = 4 и на концах отрезка [2; 7]. Так как y (4) = –1, y (2) = 3 и y (7) = 8, то наибольшее значение функции равно 8, а наименьшее есть –1.Ответ: наибольшее значение функции y=x^2-8x+15 на отрезке [2; 7] есть у(7) = 8, наименьшее значение есть у(4) = –1.

Пример 3. Закончим решение задачи 976. В данном случае требуется найти наибольшее значение функции y=x\left(100-x\right). Найдем критические точки этой функции:y'=\left(100x-x^2\right)^'=100-2x; 100-2x=0 ⇒ x=50.Поскольку в точке х = 50 производная меняет знак с „+” на „–”, то своего наибольшего значения функция достигает при х = 50.Ответ: сад нужно разбить в виде квадрата со стороной 50 м.

Пример 4. Для функции y = x² – 2|x| найдем экстремумы на отрезке [–3; 4]. Данную функцию можно представить следующим образом:

y = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x, если - 3 \leq x \leq 0 \\ x^{2} - 2 x, если 0 \leq x \leq 4 \end{cases}

, откуда

y' = \{\begin{cases} 2 x + 2, если - 3 < x < 0 \\ 2 x - 2, если 0 < x < 4 \end{cases}

Функция y = x² – 2|x| непрерывна на отрезке [–3; 4], а ее производная f '(x) существует во всех точках отрезка, кроме точки x = 0 (см. рис. 5.16). Поэтому точка х = 0 является критической. Другие критические точки – это нули производной: при х = –1 и при х = 1.

Рис. 5.16

Рис. 5.17

Итак, критическими точками являются x₁ = –1, x₂ = 0 и x₃ = 1, причем все они принадлежат отрезку [–3; 4]. При переходе через точку х₁ = –1 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому х₁ = –1 есть точка минимума. В точке х₂ = 0 производная меняет знак с „+” на „–”, значит, это – точка максимума. Аналогично получаем, что х₃ = 1 есть точка минимума (можно было бы воспользоваться и четностью функции).

График функции y = x² – 2|x| на отрезке [–3; 4] изображен на рисунке 5.17.

Ответ: функция y = x² – 2|x| имеет внутри отрезка [–3; 4] точку максимума х = 0 и две точки минимума х = –1 и х = 1, причем max(0; 0), min(–1; –1) и min(1; –1).

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 977. Точки экстремума графкика и экстремумы функции

y=2x^2-5x-12

Ответ: точкой графика является .

y=-3x^2+x-5

Ответ: точкой графика функции является .

y=x^3-5x^2+3x-5

Ответ: точкой минимума графика является , а точкой максимума – .

y=2x^3-15x^2+36x-24

Ответ: точкой минимума графика функции является , а точкой максимума – .

y=x^4-2x^2-5

Ответ: точками минимума графика функции являются и , а точкой максимума – .

y=x^5-5x^4+5x^3+1

Ответ: точкой минимума графика является , а точкой максимума – .

Задание 978. Расход бензина

Ответ: при скорости \frac{\mathrm{км}}{\mathrm{ч}}.

Задание 979. Распространение эпидемии

Ответ: эпидемия достигнет апогея на сутки. В этот день заболеет % жителей.

Задание 980. Спрос на некоторый товар

Спрос на некий модный товар описывается формулой N\left(t\right)=100+5t^2-\frac{t^3}{3}, где N(t) – число покупателей, которые нуждаются в этом товаре на t-й день.

На который день спрос на этот товар достигнет максимума и каков будет этот спрос?

Ответ: спрос на этот товар достигнет максимума на день, и спрос составят покупателей.

Задание 981. Прямолинейное движение точкм

Точка движется прямолинейно по закону s\left(t\right)=12t^2-\frac{2}{3}t^3 (единицами измерения являются метр и секунда).

Найдите в промежутке времени [4; 10] такой момент, когда скорость движения будет наибольшей.
Ответ: скорость движения точки будет наибольшей при t = .
Сравните эту скорость со скоростью в момент t = 4 и в момент t = 10.

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 982. Точки экстремума графика и экстремумы функции

y=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}

Ответ: точками минимума графика функции являются , а точками максимума – .

y=2\cos^2\frac{x}{2}

Ответ: точками минимума графика функции являются , а точками максимума – .

y=x^2+\ln x

Ответ: точка минимума и точка максимума .

y=x^2+6\ln x

Ответ: точка минимума и точка максимума .

y=x^2e^x

Ответ: точкой минимума графика функции является , а точкой минимума – .

y=x^2\ln x

Ответ: точкой минимума графика функции является , а точка максимума .

y = ln x, x > 0

Задание 983. Экстремумы функции на данном отрезке

y=x^4-32x+8, если x\in\left[-1;\ 3\right]

Ответ: на данном отрезке экстремумами функции являются значения , , .

y=3x^5-5x^3+3, если x\in\left[-3;\ 3\right]

Ответ: на данном отрезке экстремумами функции являются значения , , , .

y=\frac{x^2+4}{x}, если x\in\left[1;\ 4\right]

Ответ: на данном отрезке экстремумами функции являются значения , , .

y=\sin x\cos x, если x\in\left[0,5\pi;\ \pi\right]

Ответ: на данном отрезке экстремумами функции являются значения , , .