Исследование функции y = f (x) проводят по следующей схеме.
1. Находим область определения X данной функции, исследуем функцию на четность или нечетность, а также на периодичность.
Напомним, что если функция задана формулой, то ее области определения не принадлежат, например:
– точки, в которых обращаются в нуль знаменатели дробей;
– области отрицательности подкоренных выражений корня с четным показателем;
– области отрицательности и нули логарифмируемых выражений.
Что касается периодичности, то „подозрительными на периодичность” в школьном курсе являются тригонометрические функции.
2. Находим нули функции, т. е. множество X0.
Для этого решаем уравнение f (x) = 0.
3. Находим область положительности X+ и область отрицательности X– функции.
Для этого решаем соответственно неравенства f (x) > 0 и f (x) < 0.
4. Находим интервалы монотонности X↑, X↓ и точки экстремума функции.
Для этого находим производную y' = f '(x). Критические точки функции находим, решая уравнение f '(x) = 0 и выявляя также те точки, в которых функция непрерывна, но не имеет производной. Если f '(x0) = 0, то точку х0 можно сразу исследовать на экстремум с помощью второй производной: при f ''(x0) < 0 имеем точку максимума, при f ''(x0) > 0 точку минимума. Если же f ''(x0) = 0 или f '(x0) не существует, то выясняем, меняет ли знак в этой точке первая производная у′.
Чтобы найти интервалы возрастания и интервалы убывания функции, решаем соответственно неравенства f '(x0) > 0 и f '(x0) < 0. Найденные интервалы монотонности позволяют исследовать те критические точки, где нельзя воспользоваться второй производной.
5. Находим интервалы выпуклости , интервалы вогнутости и точки перегиба.
Решаем неравенства f ''(x) < 0, f ''(x) > 0 и уравнение f ''(x) = 0. Неравенство f ''(x) < 0 дает нам интервалы выпуклости, а неравенство f ''(x) > 0 – интервалы вогнутости графика функции. Из уравнения f ''(x) = 0 находим точки, в которых может быть перегиб. Признаком перегиба является изменение знака второй производной при переходе через точку х0, в которой f ''(x0) = 0.
6. Опираясь на полученные результаты, строим график функции.
При этом обращают внимание в первую очередь на нули функции, ее значения в точках экстремума и на точки перегиба графика. Зачастую нужно также найти пределы и , чтобы выяснить ход изменения функции при х → –∞ и х → ∞. При необходимости находят координаты некоторых дополнительных точек графика.
Пример.
Исследуем функцию
- Областью определения функции является множество X = R. Функция является четной, так как f(–x) = (–x)4 – 18(–x)2 + 32 = x4 – 18x2 +32 = f(x) при любом x ∈ R.
- Найдем нули функции, т. е. решим уравнение
x^4-18x^2+32=0 .
Сделаем замену переменнойz=x^2 .
Из уравненияz^2-18z+32=0 получим, чтоz_1=2 , z_2=16.
Поэтому множеством нулей функции являетсяX_0=\left\{-4;\ -\sqrt{2};\ \sqrt{2};\ 4\right\} .
- Область положительности найдем из неравенства
x^4-18x^2+32>0 , которое равносильно неравенству\left(x-4\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x+4\right)>0 .
Последнее неравенство решим с помощью рисунка 5.31 и получимX^+=\left(-∞;\ -4\right)\cup\left(-\sqrt{2};\ \sqrt{2}\right)\cup\left(4;\ ∞\right) .
Тот же рисунок позволяет найти и область отрицательности функции:
X^-=\left(-4;\ -\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2};\ 4\right) .
- Найдем производную функции:
y'=4x^3-36x .
Производная определена на всей числовой прямой, значит точками экстремума могут быть только нули производной. Из уравнения4x^3-36x=0 находим критические точки функции:
4x^3-36x=0 ⇔4x\left(x^2-9\right)=0 ⇔x\left(x+3\right)\left(x-3\right)=0 , откуда х1 = –3, х2 = 0, х3 = 3.
Исследуем эти точки с помощью второй производной. Имеем:y''=12x^2-36 ,y''\left(\pm3\right)=72>0, y''\left(0\right)=-36<0 .
Следовательно, в точкахx_1=-3 иx_3=3 функция имеет минимум, а в точкеx_2=0 – максимум.
Вычислим экстремумы функции:y_{\min1}=f\left(-3\right)=-49, y_{\min2}=f\left(3\right)=-49,\ y_{\max}=f\left(0\right)=32.
Чтобы найти интервалы возрастания функции, решим неравенствоy'>0 , т. е.4x^3-36x>0.
Это неравенство равносильно неравенству4x\left(x-3\right)\left(x+3\right)>0.
Решим его с помощью рисунка 5.32 и найдем интервалы возрастания функции:
X_1\uparrow=\left(-3;\ 0\right)\ иX_2\uparrow=\left(3;\ ∞\right) .
Тот же рисунок позволяет найти интервалы убывания функции:
X_1\downarrow=\left(-∞;\ -3\right) иX_2\downarrow=\left(0;\ 3\right) .
- Найдем интервалы выпуклости, интервалы вогнутости и точки перегиба. Решив уравнение
y''=0 , т. е.12x^2-36=0 , получим, что точками перегиба могут быть толькоx_4=-\sqrt{3} и x_5=\sqrt{3} .
Выясним, меняется ли в этих точках знак второй производной. Интервалы выпуклости и интервалы вогнутости найдем соответственно из неравенствy''<0 иy''>0 . Неравенствоy''>0 равносильно неравенству\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)>0 ,
решив которое (рис. 5.33) найдем интервалы вогнутости графика:
=\left(-∞;\ -\sqrt{3}\right) и =\left(\sqrt{3};\ ∞\right) .
Аналогично (см. рис. 5.33) получим, что
=\left(-\sqrt{3};\ \sqrt{3}\right) .
Одновременно мы убеждаемся, что в точкахx_4=-\sqrt{3} иx_5=\sqrt{3} вторая производная изменяет знак, следовательно, эти точки являются точками перегиба рассматриваемой функции. Значит,X_п=\left\{-\sqrt{3};\ \sqrt{3}\right\} .
Найдем ординаты точек перегиба графика:y_4=f\left(-\sqrt{3}\right)=-13 иy_5=f\left(\sqrt{3}\right)=-13.
 Рис. 5.33 | ||||||
- Чтобы начертить график функции, исследуем еще ее поведение при x → –∞ и x → ∞. Для этого найдем пределы и :
= = ∞ и
= = ∞.
Полученные результаты позволяют построить график функцииy=x^4-18x^2+32 , который изображен на рисунке 5.34.
¤ Замечание. В приведенных рассуждениях мы не пользовались четностью рассматриваемой функции. Найдите самостоятельно, где и как это можно сделать.
Упражнения Б
Задание 1013. Исследование функции
Задание 1014. Прямолинейное движение точки
Ответ:
Какую информацию об особенностях движения дает этот график (см. также задачу 1012)?
Задание 1015. Изменение количества биомассы
Количество биомассы, образовавшейся за t часов, вычисляется по формуле
Исследуйте функцию m = m(t) и постройте ее график.
Ответ:
Какую информацию о росте биомассы дает этот график?
