Задачи на нахождение экстремума

Пример 1.

На стену здания фирмы решили повестить обрамленный неоновыми трубками светильников рекламный щит (рис. 5.35). При этом купили неоновых трубок общей длиной 4 м. Каковы должны быть размеры рекламного щита, чтобы его площадь была наибольшей?

Рис. 5.35

Прежде всего, составим формулу функции, экстремум которой нужно найти. Пусть ширина рекламного щита равна х (м). Тогда его высота равна 4 – 2x (м), а площадь

S\left(x\right)=x\left(4-2x\right)=4x-2x^2 (м²).

Теперь найдем тот промежуток изменения аргумента х, в котором нужно найти точки экстремума этой функции.

Из условий задачи следует, что x>0 и 4-2x>0. Значит, x ∈ (0; 2), причем значения x = 0 и х = 2 не учитываются, так как при них задача теряет практический смысл.

Чтобы найти точки экстремума, найдем первую и вторую производные функции и решим уравнение S\ '\left(x\right)=0. Имеем:

S\ '\left(x\right)=4-4x и S\ ''\left(x\right)=-4.

Из уравнения 4-4x=0 следует, что экстремум может быть только в точке x=1, которая принадлежит рассматриваемому интервалу. 

Так как S\ ''\left(1\right)=-4<0, то в точке х = 1 функция имеет максимум.

Вычислим вторую сторону искомого прямоугольника: 4 – 2 ⋅ 1 = 2 (м).

Ответ: ширина рекламного щита должна быть 1 м, а высота – 2 м.

Пример 2.

Скупщик грибов запланировал продать за день 20 кг лисичек по цене 12 евро за килограмм. При этом его чистая прибыль составляла бы по 2 евро за каждый проданный килограмм. Позднее он решил, что понижение цены одного килограмма на 10 центов должно увеличить объем дневной продажи на 2 кг. По какой цене нужно продавать лисички, чтобы полученная прибыль была наибольшей? Предполагается, что все прогнозы, сделанные продавцом, верны.

Составим формулу функции, у которой отыскивается наибольшее значение. Будем считать, что понижение цены кратно 10 центам, т. е. оно составляет 10х центов, или 0,1х евро. Нужно найти соотношение между прибылью Т(х), которую получит продавец, и коэффициентом х понижения цены лисичек. После понижения цены продавец с каждого проданного килограмма получит доход в 2 – 0,1х евро. Объем дневной продажи грибов увеличится при этом на 2х кг, так что всего будет продано 20 + 2х кг.

При такой продаже доход Т(х) вычисляется по формуле

T\left(x\right)=\left(2-0,1x\right)\left(20+2x\right).

Из условия задачи ясно, что x\ge0 и 2-0,1x\ge0, значит наша функция определена при x\in\left[0;\ 20\right] и требуется найти ее наибольшее значение на этом отрезке.

Найдем критические точки функции в интервале \left(0;\ 20\right):

T\left(x\right)=40+2x-0,2x^2, T\ ''\left(x\right)=2-0,4x.

Из уравнения 2-0,4x=0 получим, что единственной критической точкой функции является x = 5 ∈ (0; 20).

Вычислим значения функции в точке х = 5 и на концах отрезка \left[0;\ 20\right].

T\left(5\right)=45; T\left(0\right)=40, T\left(20\right)=0.

Таким образом, своего наибольшего значения функция достигает при х = 5. Поэтому лисички следует продавать по цене 12 – 5 ⋅ 0,1 = 11,5 (€) за килограмм.

Ответ: лисички следует продавать по цене 11,5 евро за килограмм.

Пример 3.

Бокал имеет форму конуса, образующая которого равна 12 см (рис. 5.36). При каком отношении диаметра основания этого конуса к его высоте объем бокала будет наибольшим?

Рис. 5.36

Сначала найдем функцию, для которой будем искать наибольшее значение. Для этого выразим объем V конуса через его высоту x:

V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot x.

Полученная формула содержит еще одну переменную r (радиус основания), для исключения которой мы воспользуемся соотношением x^2+r^2=12^2. Так как r^2=144-x^2, то получим, что

V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi\left(144-x^2\right)\cdot x,
откуда V\left(x\right)=\frac{144\pi}{3}x-\frac{\pi}{3}x^3.

Из условия задачи следует, что x ∈ (0; 12), а точки х = 0 и х = 12 не подходят по смыслу. Чтобы найти точки экстремума, вычислим первую и вторую производные и решим уравнение V\ '\left(x\right)=0. Имеем

V\ '\left(x\right)=\frac{144\pi}{3}-\pi x^2 и V\ ''\left(x\right)=-2\pi x.

Из уравнения \frac{144\pi}{3}-\pi x^2=0 получим, что единственной критической точкой функции в рассматриваемом интервале (0; 12) является x=4\sqrt{3}.

Так как V\ ''\left(4\sqrt{3}\right)=-8\pi\sqrt{3}<0, то в данной точке функция имеет максимум.

В заключение найдем отношение диаметра основания к высоте конуса:

d = 2r = 2\sqrt{144-\left(4\sqrt{3}\right)^2} = 2\sqrt{144-48} = 8\sqrt{6} и \frac{2r}{x}=\frac{8\sqrt{6}}{4\sqrt{3}}=2\sqrt{2}.

Ответ: отношение диаметра основания к высоте конуса должно быть равным 2\sqrt{2}.

Пример 4.

Найдем расстояние от точки В(0; 3) до прямой y = 2x + 1.

Под расстоянием от точки до прямой понимается наименьшая из длин отрезков, соединяющих данную точку с некоторой точкой этой прямой. Таким образом, нам нужно найти на данной прямой такую точку A(x; y), расстояние от которой до точки B(0; 3) является наименьшим (рис. 5.37). 

Рис. 5.37

Запишем формулу, по которой вычисляется это расстояние:

d\left(x\right)=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(y-3\right)^2}.

Заменим переменную у выражением 2х + 1 и получим:

d\left(x\right)=\sqrt{x^2+\left(2x+1-3\right)^2} = \sqrt{5x^2-8x+4}.

Из условия задачи ясно, что наименьшее значение этой функции ищется на интервале (–∞; ∞).

Теперь заметим, что решение можно облегчить: отыскание наименьшего значения функции d = d(x) можно заменить отысканием наименьшего значения квадрата расстояния, т. е. функции

k\left(x\right)=d^2\left(x\right)=5x^2-8x+4.

В самом деле, расстояние d(x) ≥ 0 будет наименьшим в том и только в том случае, когда его квадрат будет наименьшим. 

Вычислим первую и вторую производные и решим уравнение k'(x) = 0. Имеем:

k\ '\left(x\right)=10x-8 и k\ ''\left(x\right)=10

и из уравнения 10x-8=0 найдем, что единственной критической точкой функции является х = 0,8. Поскольку k\ ''\left(0,8\right)=10>0, то полученная точка является точкой минимума.

В заключение вычислим наименьшее значение функции d = d(x):

d\left(\frac{4}{5}\right)=\sqrt{5\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2-8\cdot\frac{4}{5}+4}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.

Ответ: расстояние от точки В(0; 3) до прямой y = 2x + 1 равно \frac{2\sqrt{5}}{5}.