Cтепенные функции

Курс "Функции"

При решении многих практических задач приходится возводить в степень некоторые величины. Например, при вычислении площади квадрата мы пользуемся квадратом числа, объем куба вычисляется с помощью куба числа и т. д. Здесь мы познакомимся с функциями, содержащими степени, и исследуем их свойства.

Рассмотрим, прежде всего, степенные функции с коэффициентом a = 1. Будем исследовать свойства функции y = xⁿ в зависимости от того, какому числовому множеству принадлежит показатель степени n.

Если n ≠ 0, то в степень n можно возвести любое действительное число. Поэтому областью определения функции y = xⁿ является множество R всех действительных чисел. С некоторыми такими степенными функциями с натуральным показателем мы уже знакомы.

1. Если n = 0, то степень x⁰, определена для любого числа x ≠ 0. При этом x⁰ = 1. Функция у = х⁰ определена и постоянна на множестве Х = (–∞; 0) ∪ (0; ∞), а ее графиком является параллельная оси Ох прямая у = 1 с одной «выколотой» точкой (0; 1) (рис. 2.23, а).
2. Если n = 1, то получим функцию y = x, ее графиком является прямая (рис. 2.23, б).
3. Если n = 2, то получим квадратичную функцию y = x², ее графиком является парабола (рис. 2.23, в).

1. Если n = 3, то получается кубическая функция y = x³.

Как было отмечено, областью определения этой функции является множество R (в куб можно возвести любое число). Мы также знаем, что куб отрицательного числа есть число отрицательное, куб положительного числа есть число положительное и 0³ = 0. Чем большее число возводится в куб, тем больший результат получается. Поэтому кубическая функция является возрастающей.

Общий вид такой функции y = x^–n, где n – положительное целое число, т. е. n ∈ Z⁺. В силу определения степени с отрицательным показателем a^{-n}=\frac{1}{a^n}, формулу функции можно записать и в виде y=\frac{1}{x^n}. Так как на нуль делить нельзя, то число 0 не принадлежит области определения функции, и все эти функции определены на множестве X = (–∞; 0) ∪ (0; ∞).

1. Функция $$ \mathit{y}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}$$ или $$ \mathit{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}}$$.

Так как f (–x) = f (x), то график симметричен относительно оси Оу. Если значения х приближаются к нулю (пишут x → ∞), то значения функции становятся сколь угодно большими, т. е. $$ \frac{1}{x^2}\to \infty $$. Если x → ∞ или x → –∞, то $$ \frac{1}{x^2}\to 0$$.

График функции изображен на рисунке 2.26.

До сих пор мы рассматривали степенные функции вида y = xⁿ. В случае степенных функций y = axⁿ (где a ≠ 1) их некоторые свойства могут отличаться от свойств функции y = xⁿ, что зависит от значения коэффициента а. Исследовать подобные функции помогут следующие задачи.