Мгновенная скорость

Курс „Последовательности. Производная функции”

Поскольку пройденные к этим моментам пути соответственно f(t) и f(t+Δt), то в рассматриваемом промежутке времени тело пройдет путь длиной

AB=\Delta s=f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t\right).

Соответствующая средняя скорость[понятие: Средняя скорость (keskmine kiirus) – отношение Δ𝑠 :Δ𝑡. Соответствует промежутку между 𝑡 и 𝑡 + Δ𝑡.] в промежутке времени [t; t + ∆t] (или на отрезке АВ) была

v_{ср}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t\right)}{\Delta t}.

Найдем теперь, какова была скорость движения объекта в точке А, т. е. в момент времени t. Эта скорость называется мгновенной скоростью[понятие: Мгновенная скорость (hetkkiirus) – предел средней скорости движения когда приращение аргумента (времени) стремится к нулю.] и обозначается v. Она характеризуется средней скоростью v_ср тем точнее, чем меньше ∆s или, другими словами, чем короче длина ∆t промежутка времени. Следовательно,

если \Delta t\to0, то \frac{\Delta s}{\Delta t}\to v, или v_{ср}\to v.

Так как закон движения является функцией s=f(t), то можно сказать, что мгновенная скорость v есть величина, к которой неограниченно приближается отношение приращения \Delta s длины пути к приращению времени \Delta t, когда приращение времени стремится к нулю. Сказанное можно записать в виде

$$ v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }{v}_{\mathrm{ср}}$$, или $$ v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}$$.