Касательная к графику функции

Курс „Последовательности. Производная функции”

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку Р (рис. 3.14). В случае произвольной линии или графика функции такое определение непригодно, так как касательная может иметь с данной линией (графиком) и несколько общих точек. Например, на рисунке 3.15 касательная s имеет с линией, кроме точки касания P, еще две общие точки A и B.

Рис. 3.14
Рис. 3.15

Чтобы определить касательную s к некоторой линии в точке Р, рассмотрим секущую s1 – это прямая, проведенная через точку P и через некоторую другую точку P1 данной линии (рис. 3.15). Если теперь точка Р1 будет неограниченно приближаться вдоль линии к точке Р (на рисунке 3.15 показаны некоторые промежуточные положения секущей – прямые s2 = РР2 и s3 = РР3), то результатом такого предельного процесса и будет касательная s.

Касательной к линии[понятие: Касательная к линии в данной точке (joone puutuja) – прямая 𝑠, проходящая через точку 𝑃 данной линии, являющаяся предельным положением секущей 𝑃𝑄 при неограниченном приближении точки 𝑄 вдоль линии к точке 𝑃 (см. рис. 3.16 ).] в точке P этой линии называется проходящая через точку Р прямая s, являющаяся предельным положением секущей PP1 при неограниченном приближении точки P1 вдоль линии к точке P.

В данной ситуации точку Р называют точкой касания. Возникновение касательной при приближении точки Р1 к точке Р можно проследить с помощью программы GeoGebra.

Пусть рассматриваемая линия является графиком некоторой функции y=f(x). Чтобы получить уравнение касательной s, проведенной через точку P(x0; y0) (рис. 3.16), воспользуемся уравнением прямой, проходящей через эту точку и имеющую угловой коэффициент k. Но как найти угловой коэффициент k = tan α, где α – угол наклона прямой (касательной)?

Рис. 3.16

Воспользуемся рисунком 3.16, придадим аргументу x0 приращение Δx тогда новым значением аргумента будет x0 + Δx которому соответствует на графике точка Q. Проведем секущую PQ к данному графику, т. е. прямую s1. Пусть β – угол наклона секущей PQ. Тогда из прямоугольного треугольника PQR получим угловой коэффициент секущей:

\tan\mathrm{\beta}=\frac{\Delta y}{\Delta x}.

Если точка Q будет неограниченно приближаться вдоль графика к точке P, то Δx\to0, а угол β будет стремиться к углу α, т. е. \mathrm{\beta}\to\mathrm{\alpha}. 

Но тогда также \tan\mathrm{\beta}\to\tan\mathrm{\alpha}, т. е. \frac{\Delta y}{\Delta x}\to\tan\mathrm{\alpha}. 

Величина k = tan α является угловым коэффициентом касательной s. Таким образом, если

Q\to P, то Δx\to0 и \frac{\Delta y}{\Delta x}\to k, т. е. k=tan α=limΔx→0ΔyΔx.

Угловой коэффициент касательной[понятие: Угловой коэффициент касательной (puutuja tõus) – угловой коэффициент прямой, являющейся касательной.] к графику функции равен пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Замечание. Угловой коэффициент k прямой в эстонской математической литературе называется одним словом «tõus» – наклон[понятие: Наклон прямой (sirge tõus) – то же, что и угловой коэффициент прямой]. В этом значении слово «наклон» встречается и в русскоязычной литературе, и мы будем иногда употреблять его.

Пример.

Выведем формулу для вычисления углового коэффициента касательной к графику функции y=\frac{1}{x} в произвольной точке (рис. 3.17). Найдем также уравнение касательной, проходящей через точку А(1; 1) графика функции.

Рис. 3.17

Пусть (x; y) – точка графика, через которую проведена касательная.

Поскольку

\Delta y = \frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x} = \frac{x-x-\Delta x}{x\left(x+\Delta x\right)} = \frac{-\Delta x}{x\left(x+\Delta x\right)},

то \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{x\left(x+\Delta x\right)} и

потому если \Delta x\to0, то \frac{\Delta y}{\Delta x}\to-\frac{1}{x^2}.

Воспользовавшись понятием предела, получим, что

k=limΔx→0ΔyΔx = limΔx→0-1x(x+Δx) = -1x2.

Полученная формула k=-\frac{1}{x^2} позволяет вычислить угловой коэффициент касательной в любой точке графика функции y=\frac{1}{x}. График функции проходит через точку А(1; 1), и в этой точке угловой коэффициент касательной k=-1. Следовательно, уравнением касательной будет y-1=-1\left(x-1\right), или y=-x+2.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

  • Выведите формулу для вычисления углового коэффициента касательной к графику функции.

    Ответ: k = 
  • Найдите угловой коэффициент и угол наклона касательной в точке:
    1. A(0; 4).

      Ответ: k = , y = 
    2. B(–2; y).

      Ответ: k = , y = 
    3. с абсциссой 1.

      Ответ: k = , y = 
  • Выведите формулу для вычисления углового коэффициента касательной к графику функции y=\frac{2x-4}{5x}.

    Ответ: k = 
  • Какой угловой коэффициент имеет касательная, проведенная через точку с абсциссой x = −1?

    Ответ: в этом случае k = 
  • Найдите уравнение касательной, проведенной через точку с абсциссой x = −1.

    Ответ: y = 
Seotud sisu
Muud tegevused