Производная функции

Курс „Последовательности. Производная функции”

При определении мгновенной скорости и нахождении углового коэффициента касательной мы пришли к тому, что в обоих случаях для произвольной точки х отношение приращения ∆у функции y=f(x) к приращению аргумента ∆х стремится при Δx\to0 к некоторому выражению. Это выражение называется производной функции[понятие: Производная функции (funktsiooni tuletis) – величина, к которой стремится отношение приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.] y=f(x) и обозначается символом f'\left(x\right), или \left[f\left(x\right)\right]', или y'.

Производной функции y = f(x) называется выражение f '(x), к которому стремится отношение ΔyΔx приращения ∆у функции к приращению аргумента ∆х, если Δx → 0, иными словами, если Δx → 0, то ΔyΔx→f'(x).

С помощью понятия предела можно записать, что

производной функции y = f(x) называется выражение f ′(x), к которому стремится отношение ΔyΔx приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

f'(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.

Пример.

На основании примеров двух предыдущих разделов можно сказать, что производная закона (функции) свободного падения тела s=\frac{gt^2}{2} есть s'=gt и производная функции y=\frac{1}{x} есть y'=-\frac{1}{x^2}.

Тот факт, что производная функции y=\frac{1}{x} есть y'=-\frac{1}{x^2}, полезно запомнить.

Если функция y=f\left(x\right) имеет в точке x0 производную, то говорят, что эта функция дифференцируема в точке[понятие: Дифференцируемая в данной точке функция (antud kohal diferentseeruv funktsioon) – функция, имеющая в данной точке производную.] x0.

Если значение аргумента х – это фиксированное число х0, то производная f′(x_0) – это некоторое число.

Производная функции, найденная в последнем примере, является уже новой функцией. Вообще термин производная функции y = f(x) может употребляться в двух значениях: 1) новая функция g(x) = f ′(x); 2) значение f ′(x0) производной в некоторой точке х0.

Нахождение производной функции называется дифференцированием[понятие: Дифференцирование функции (funktsiooni diferentseerimine) – нахождение производной данной функции.] данной функции.

Раздел математики, в котором изучаются производные, связанные с ними понятия и применения производной, называется дифференциальным[cноска: От латинского слова differentia – разность, различие.] исчислением. Возникновение дифференциального исчисления восходит ко второй половине XVII века. Создателями его стали (независимо друг от друга) английский физик, астроном и математик Исаак Ньютон (I. Newton, 1643–1727) и немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (G. W. Leibniz, 1646–1716). Открытие дифференциального исчисления и последующие успехи математики имели решающее значение для развития техники и производства в последние столетия.

Если функция y=f\left(x\right) описывает некоторый процесс, то величины \frac{\Delta y}{\Delta x} и f′(x) определяют соответственно среднюю скорость протекания процесса и мгновенную скорость относительно аргумента х. Пусть, например, функция y=f\left(x\right) отражает зависимость длины у металлического стержня от температуры х этого стержня. Тогда \frac{\Delta y}{\Delta x} есть средняя скорость изменения длины стержня относительно температуры, точнее, средняя скорость на отрезке изменения температуры длиной ∆х начиная с температуры х градусов. А производная f′(x) дает нам мгновенную скорость изменения длины стержня при температуре х градусов.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

y=x^2
y′ = 

y=5x
y′ = 

y=x
y′ = 

y=4x^2
y′ = 

y=x^2+5x
y′ = 

y=4x^2-x
y′ = 

y=-x
y′ = 

y=2x^{-1}
y′ = 

Seotud sisu
Muud tegevused