Производная суммы функций

Курс „Последовательности. Производная функции”

В предыдущем разделе мы нашли производные некоторых функций. Как видно из примеров, нахождение производной с помощью определения является очень трудоемким. Поэтому при нахождении производных пользуются правилами дифференцирования и производными наиболее часто встречающихся функций. Рассмотрим их.

1. Производная постоянной функции

Постоянная функция имеет одно и то же значение с при всех значениях аргумента x ∈ R, т. е. задается равенством у = с, а ее графиком является прямая, параллельная оси Ох и пересекающая ось Оу в точке с.

Найдем ее производную по определению производной.

Δy = f\left(x+Δx\right)-f\left(x\right) = c-c = 0;

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0;

y'=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→00=0.

Следовательно,

c' = 0, производная постоянной равна нулю.

Пример 1.

  1. Если y = 364,2, то y' = 364,2' = 0;
  2. если y = –8, то y' = (–8)' = 0;
  1. если y = π, то y' = π' = 0;
  2. если y=\sin\frac{\pi}{7}, то y'=\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)'=0.

2. Производная аргумента

Найдем производную функции y=x. Применим определение производной:

Δy = f\left(x+Δx\right)-f\left(x\right) = \left(x+Δx\right)-x = Δx;

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1;

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01=1.

Значит,

x' = 1, производная аргумента равна единице.

3. Производная суммы функций

Пусть функции y=f\left(x\right) и y=g\left(x\right) имеют производные в точке x. Найдем правило, позволяющее продифференцировать их сумму, т. е. найти производную функции y=f\left(x\right)+g\left(x\right). Сделаем это с помощью примера.

Пример 2.

Пусть даны функции f\left(x\right)=x^2 и g\left(x\right)=3x. Образуем функцию y=x^2+3x и найдем ее производную.

Так как

Δy = \left(x+Δx\right)^2+3\left(x+Δx\right)-\left(x^2+3x\right) = x^2+2x\cdotΔx+\left(Δx\right)^2+3x+3Δx-x^2-3x = 2x\cdotΔx+\left(Δx\right)^2+3Δx,

то \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\cdot\Delta x+\left(\Delta x\right)^2+3\Delta x}{\Delta x} = 2x+\Delta x+3.

Если Δx\to0, то \frac{\Delta y}{\Delta x}\to2x+3, или y′=2x+3.

Найдем теперь отдельно производные функций f\left(x\right)=x^2 и g\left(x\right)=3x и сравним их с предыдущим результатом.

В случае функции f\left(x\right)=x^2 получим:

\Delta y = \left(x+\Delta x\right)^2-x^2 = x^2+2x\cdot\Delta x+\left(\Delta x\right)^2-x^2 = 2x\cdot\Delta x+\left(\Delta x\right)^2

и \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\cdot\Delta x+\left(\Delta x\right)^2}{\Delta x} = 2x+\Delta x.

Если теперь Δx\to0, то \frac{\Delta y}{\Delta x}\to2x, т. е. f′\left(x\right)=2x.

В случае функции g\left(x\right)=3x получим, что

Δy = 3\left(x+Δx\right)-3x = 3x+3Δx-3x = 3Δx

и \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3\Delta x}{\Delta x}=3.

Теперь если Δx\to0, то \frac{\Delta y}{\Delta x}\to3, т. е. g'\left(x\right)=3.

Сравнив производную функции y=x^2+3x, равную \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]'=2x+3 с суммой f'\left(x\right)+g'\left(x\right)=2x+3 отдельно найденных производных двух функций, мы видим, что эти результаты равны, т. е. \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right).

На основе примера мы убедились, что

[f (x) + g (x)]' = f '(x) + g'(x), 
​производная суммы двух функций равна сумме их производных.

Пример 3.

Найдем производные функций: 1) y=x+7 и 2) y=\frac{x^2+1}{x}.

  1. (x + 7)' = x' + 7' = 1 + 0 = 1.
  1. Так как \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}, то \left(\frac{x^2+1}{x}\right)' = \left(x+\frac{1}{x}\right)' = x'+\left(\frac{1}{x}\right)' = 1-\frac{1}{x^2}.

Правило дифференцирования суммы функций выполняется для любого конечного числа слагаемых. Например,

\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)+h\left(x\right)\right]' = \left\{\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]+h\left(x\right)\right\}' = \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]'+h'\left(x\right) = f'\left(x\right)+g'\left(x\right)+h'\left(x\right).

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

y=25
y' = 

y=-0,009
y' = 

y=10
y' = 

y=-\pi
y' = 

y=e^{-3}
y' = 

y=\pi\cdot e
y' = 

y=\sin\frac{\pi}{6}
y' = 

y=\tan7,7
y' = 

y=\log10
y' = 

y=x+44
y' = 

y=x+e
y' = 

y=x-10
y' = 

y=\frac{x+1}{x}
y' = 

y=\frac{1}{x}+5
y' = 

y=\frac{1-8x}{x}
y' = 

Seotud sisu
Muud tegevused