Harjutusülesanded. Võrrandid

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1. Ruut­võrrand

Kui ruudu ühte külge vähendada viie meetri võrra ja teist suurendada kaks korda, siis saadakse ristkülik, mille pindala on ruudu pindalast 24 ruutmeetrit väiksem. Leia selle ruudu külg a.

  • ruudu külg on a
  • ruudu pindala on 
  • 5 m võrra vähendatud külg on 
  • 2 korda pikem külg on 
  • ristküliku pindala on 
  • 24 = 
  • võrrand 
  • ruutvõrrand lahendamiseks
  • võrrandi lahendid (a1 < a2)
    • a1 = 
    • a2 = 
Vastus

Ruudu külg on  meetrit.

Lahendus
  • Ruudu pindala on a2
  • Ristküliku pindala 2a(a – 5)
  • a2 = 2a(a – 5) + 16
  • Ruutvõrrandi a2 – 10a + 16 = 0 lahendid on 2 ja 8, milledest 2 ei sobi lahendiks. Põhjenda, miks?
Vastus

Ruudu külg on 8 meetrit.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2. Lineaar­võrrandi­süsteem

Kolm pirukat (p) ja kaks jooki (j) maksavad kokku 6 eurot ja 80 senti. Kolm jooki ja viis pirukat aga kokku 10 eurot ja 80 senti. Mitu eurot tuleb kokku maksta ühe piruka ja ühe joogi eest?

  1. Lineaarvõrrandisüsteem
    p + j = p + j =
  2. Lahendid
    p = j =
Vastus

Ühe piruka ja joogi hind on  eurot ja  senti.

Lahendus

Kui ühe piruka hind on p ja joogi hind j eurot, saame võrrandisüsteemi:

3 p + 2 j = 6,8 5 p + 3 j = 10,8

Lahendame asendusvõttega.

  1. Avaldame esimesest võrrandist j:
    ​2j = 6,8 – 3p
    j = 3,4 – 1,5p
  2. Asendame selle teise võrrandisse
    5p + 3(3,4 – 1,5p) = 10,8
    5p + 10,2 – 4,5p = 10,8
    0,5p = 0,6​​​
    p = 1,2
  3. Arvutame j väärtuse
    j = 3,4 − 1,5 ⋅ 1,2 = 3,4 − 1,8 = 1,6​

Järelikult on ühe piruka ja joogi hind 1,2 + 1,6 = 2,8 eurot.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 3. Murdvõrrand

\frac{x+1}{9x+3}=\frac{x-1}{3x-1}-\frac{2x^2+4}{9x^2-1}

  1. Ühine nimetaja:
  2. Murdude laiendajad:
    1. murd 
    2. murd 
    3. murd 
Vastus

Lahendus

x + 1 9 x + 3 = x - 1 3 x - 1 - 2 x 2 + 4 9 x 2 - 1

  1. Viime võrrandi liikmed ühele poole ja võrdsustame avaldise nulliga, samal ajal tegurdame nimetajad.
    ​​ x + 1 3 3 x + 1 - x - 1 3 x - 1 + 2 x 2 + 4 3 x - 1 3 x + 1 = 0
  2. Teisendame nurrud ühenimelisteks ja viime võrrandi liikmed ühisele murrujoonele.​​
    ​ x + 1 ( 3 x - 1 3 3 x + 1 - x - 1 ( 9 x + 3 3 x - 1 + 2 x 2 + 4 ( 3 3 x - 1 3 x + 1 = 0 x + 1 3 x - 1 - x - 1 9 x + 3 + 3 2 x 2 + 4 3 3 x - 1 3 x + 1 = 0 3 x 2 - x + 3 x - 1 - 9 x 2   - 3 x + 9 x + 3 + 6 x 2 + 12 3 3 x - 1 3 x + 1 = 0 8 x + 14 3 3 x - 1 3 x + 1 = 0
  3. Murd võrdub nulliga siis, kui tema lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja on nullist erinev.
    1. 8x+14=0
      8x=-14 | : 8​
      x=-\frac{14}{8}=-\frac{7}{4}=-1\frac{3}{4}=-1,75
    2. 3\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)\ne0
      3x\pm1\ne0
      3x\ne\pm1
      x\ne\pm\frac{1}{3}
  4. ​​​​Kontrollime lahendit.
  1. vasak pool
    \frac{-1,75+1}{9\cdot\left(-1,75\right)+3}=\ ​
    =\frac{-0,75}{-15,75+3}=\frac{-0,75}{-12,75}=\frac{1}{17}\
  2. parem pool
    \frac{-1,75-1}{3\cdot\left(-1,75\right)-1}-\frac{2\cdot\left(-1,75\right)^2+4}{9\cdot\left(-1,75\right)^2-1}=
    =\frac{-2,75}{-6,25}-\frac{10,125}{26,5625}=
    =\frac{11^{\text{(}17}}{25}-\frac{162}{425}=\frac{25}{425}=\frac{1}{17}
    ​​​​vp = pp 
​Vastus

x=-1,75

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 4. Eksponen­tvõrrand

16^{3x-2}=\sqrt{32}

Vihje
1. Kirjuta astmete alused ühesuguse arvu astmete abil.
2. Teisenda juur ratsionaalarvuliseks astendajaks.
3. Astme astendamisel astendajad korrutatakse.
4. Kui alused on võrdsed, peavad olema võrdsed ka astendajad.
5. Lahenda saadud lineaarvõrrand.
  1. Teisenda
  2. Lineaarvõrrand
Vastus

Lahendus

16^{3x-2}=\sqrt{32}

  1. Teisendame juure ratsionaalarvuliseks astendajaks
    \sqrt{32}=32^{0,5}
  2. ​Kirjutame astmete alused arvu 2 astmete abil.
    \left(2^4\right)^{3x-2}=\left(2^5\right)^{0,5}
  3. Astendame astmed (korrutame)
    2^{12x-8}=2^{2,5}
  4. ​​Võrdsete astmete korral, kui alused on võrdsed, siis peavad võrduma ka astendajad.
    12x-8=2,5
  5. Lahendame lineaarvõrrandi.
    12x=10,5
    x=\frac{7}{8}=0,875
  6. Kontrollime tulemust
  1. vasak pool
    ​16^{3\cdot0,875-2}=16^{0,625}=2^{4\cdot0,625}=2^{2,5}
  2. parem pool
    ​\sqrt{32}=\sqrt{2^5}=2^{5\cdot\frac{1}{2}}=2^{2,5}
    vp = pp​
Vastus

x=\frac{7}{8}=0,875

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 5. Logaritm­võrrand

\log\left(x-2\right)+\log\left(x+2\right)=3\log2+\log\left(x-2\right)

Vihje
Logaritmi omadused
a log (b) = log (ba)
log (a) + log (b) = log (a ⋅ b)
  1. Teisenda, kasutades logaritmi omadusi
    • \log\left(x-2\right)+\log\left(x+2\right)=
  2. Teisendatud logaritmvõrrand
  3. Ruutvõrrand ja lahendid (x1 < x2)

    x1 =  
    x2 =  
Vastus

Lahendus

\log\left(x-2\right)+\log\left(x+2\right)=3\log3+\log\left(x-2\right)

  1. Kasutame logaritmi omadusi
    • a\log b=\log\left(b^a\right)
    • \log a+\log b=\log\left(a\cdot b\right)

\log\left[\left(x-2\right)\left(x+2\right)\right]= \log\left(2^3\right)+\log\left(x-2\right)

\log\left(x^2-4\right)=\log\left[8\left(x-2\right)\right]

\log\left(x^2-4\right)=\log\left(8x-16\right)

  1. Kuna logaritmid on võrdsed, siis on võrdsed ka logaritmitavad.
    x^2-4=8x-16
    x^2-8x+12=0
  2. Lahendame ruutvõrrandi
    x1 = 2
    x2 = 6​​​​
  3. Kontroll
  1. vasak pool x = 2
    \log\left(2-2\right)+\log\left(2+2\right)=\log0+\log4
    ei lahendu, sest logaritmitav peab olema positiivne
  2. vasak pool x = 6
    ​\log\left(6-2\right)+\log\left(6+2\right)=\log4+\log8=
    =\log\left(4\cdot8\right)=\log32
  3. parem pool x = 6
    3\log2+\log\left(6-2\right)=\log\left(2^3\right)+\log4=
    ​​=\log\left(8\cdot4\right)=\log32
    vp = pp​
Vastus

x=6

Seotud sisu
Muud tegevused

Riigieksami ülesanded

  1. Leidke järgmiste võrrandite täpsed lahendid:
    1. 2^{9a-3}=32 (3 p)
    2. \log\left(24b\right)+\log5=2 (3 p)
    3. \left(\frac{2}{7c}\right)^{-1}=\sqrt{3^{11}\ :\ 3^9} (3 p)
  2. Järjestage saadud lahendid, alustades kõige väiksemast (1 p).
Vastus
  1. Lahendid
  2. Järjestatud lahendid

Lahendage võrrand \frac{x-1}{x-3}+x=\frac{2}{x-3}.

  • Ruutvõrrand ja lahendid (x1 < x2)

    x1 = 
    x2 = 
Vastus

x = 

Ehitusfirma soovis osta 1470 m2 seinaplaate. Firmale esitati kaks hinnapakkumist (vt tabel).

Pakku­mine

Hind (€/m2)

Trans­port (€)

Lisa­tingimused

A

7,95

400

Kui ostusumma on üle 15 000 €, siis kauba transport tasuta.

B

8,70

tasuta

Kui ostusumma on üle 10 000 €, siis soodustus 10% kogu ostult.

Ehitusfirma valis soodsama pakkumise. Millise pakkumise firma valis ja kui palju raha kulus plaatide ostmiseks?

  • Firma A 
  • Firma B  
Vastus

Ehitusfirma valis pakkumiseja firmal kulus plaatide ostmiseks  eurot  senti.

Lihtsustage avaldis \frac{9x^2-y^2}{12x-4y}-\frac{3x-y}{12} ning arvutage selle täpne väärtus, kui x ja y on vastavalt võrrandite 8x = 16 ja log2(y + 8) = 8 – log216 lahendid.

  • x = 
  • y = 
Vastus

Avaldis lihtsustub kujule 
Avaldise väärtus on 

Fikseeritud hinnaga elektripaketis on elektri ühe kilovatt-tunni (kWh) päevane hind päevatariifi järgi 14 senti ja öötariifi järgi 11 senti. Selle paketi valinud majaomanikul tuli septembris maksta elektri eest 42,94 eurot ja oktoobris 73,84 eurot.
Septembris oli tema majapidamise päevane elektritarbimine (x) 40 kWh võrra väiksem kui oktoobris ja öine elektritarbimine (y) kaks korda väiksem kui oktoobris. Mitu kilovatt-tundi tarbis majaomanik kummaski kuus?

{

  • x =  kWh
  • y =  kWh
Vastus

Septembris oli tarbimine  kWh ja oktoobris  kWh.

Lahendage võrrandid.

  1. log2(2x2 – 5x + 5) = 3
  2. 0,52x+1 = 161,5–x
Vastused
  1. x1 = 
    x2 = 
  2. x = 

Lemmikloomade poes olid müügil hamstrid hinnaga 10 eurot tükk ja kanaarilinnud hinnaga 15 eurot tükk. Kõik poes müüdavad hamstrid ja kanaarilinnud maksid kokku 360 eurot. Ühel päeval pääsesid omaniku hooletuse tõttu kaks hamstrit ja pooled kanaarilinnud vabadusse. Põgenenud loomade ja lindude müügist oleks omanik saanud 140 eurot.

  1. Mitu hamstrit ja mitu kanaarilindu oli poes esialgu (6 p)?
  2. Omanik otsustas, et hamstrite müügihinda ta ei muuda. Millise hinnaga peaks omanik müüma kanaarilinnud, et alles jäänud hamstrite ja kanaarilindude müügist saada endiselt 360 eurot (4 p)?
Vastus

Poes oli esialgu  hamstrit ja  kanaarilindu.
Omanik peaks kanaarilinde müüma hinnaga  eurot ja  senti tükk.

Sõbrad Mart ja Robert osalesid kohaliku duatloni põhidistantsil, kus tuli läbida 6 km joostes, 24 km jalgrattaga sõites ja veel 3 km joostes.

  1. Mart läbis esimese jooksuetapi poole tunniga. Tema keskmine kiirus teisel jooksuetapil oli 3 km/h võrra väiksem kui esimesel jooksuetapil. Mitu minutit kulus Mardil teise jooksuetapi läbimiseks?
    • v1 =  km/h (1 p)
    • v2 =  km/h (1 p)
    • t2 =  h =  min (2 p)
  2. Robert sõitis jalgrattaga ühes tunnis 2 km rohkem kui Mart ning läbis selle etapi 3 minutit kiiremini kui Mart. Arvutage Roberti keskmine kiirus jalgrattaetapil.
    • 3 min =  tundi
    • Ruutvõrrand ja lahendid (x1 < x2)

      x1 =  
      x2 = 
Vastus
  1. Teise jooksuetapi läbimiseks kulus Mardil  minutit.
  2. Roberti keskmine kiirus jalgrattaetapil oli  kilomeetrit tunnis.

Kinos näidati eelmisel nädalal 2D- ja 3D-filme. Kinoseanssidele müüdi nii tava- kui ka soodus­hinnaga pileteid. Kõikidest kinokülastajatest 60% vaatas 2D-filme ja neist omakorda 20% ostis sooduspileti. 3D-filmide pileteid müüdi kokku 1100, neist 25% olid sooduspiletid. Kui palju müüdi kokku eelmisel nädalal 2D- ja 3D-filmide sooduspileteid?

  • 2D sooduspileteid 
  • 3D sooduspileteid 
Vastus

Eelmisel nädalal müüdi kokku  sooduspiletit.

Kauplusesse toodi kahte sorti jäätiseid, mis olid pakitud kolme kasti. Esimeses kastis oli 60 pulgajäätist ja teises kastis oli 40 vahvlijäätist. Esimeses kastis olevad jäätised kaalusid kokku sama palju kui teises kastis olevad jäätised. Kolmandas kastis oli 35 pulgajäätist ja 15 vahvlijäätist ning need kokku kaalusid 200 grammi vähem kui esimese kasti jäätised.

  1. Kui palju kaalus üks pulgajäätis ja kui palju kaalus üks vahvli­jäätis?
  2. Kauplus tellis 15 kg jäätist. Kas kauplusse toodud jäätise­kogus vastas tellimusele? Põhjendage oma vastust.
  3. Pulgajäätis maksis 59 senti ja vahvli­jäätis 49 senti. Mitu eurot maksid kolme kasti jäätised kokku?
Vastus
  1. Pulgajäätis kaalus  ja vahvli­jäätis  grammi.
  2. Jäätisekogustellimusele, sest kauplusesse toodud kogus oli  kilogrammi.
  3. Jäätised maksid kokku  eurot.

Lahendage võrrand \log_2\left(x+3\right)+\log_2\left(x+1\right)=3\log_22

  • Ruutvõrrand ja lahendid (x1 < x2)

    x1 =  
    x2 = 
Vastus

x = 

Allahindlusperioodil oli kõikidel sama nimetusega toodetel ühesugune hind.
Mari ostis jope, 2 kampsunit ja 3 särki ning maksis kokku 100 eurot.
Peeter ostis 3 jopet, särgi ja 5 kampsunit ning maksis 186 eurot.
Jüri ostis 3 jopet ja maksis 84 eurot.

  1. Kui palju maksis Piret särgi ja kahe kampsuni eest kokku?
    • 1 jope hind €
    • 1 särgi hind €
    • 1 kampsuni hind €
  2. Arvutage jope esialgne hind, kui allahindlus oli 60%.
Vastus
  1. Piret maksis kokku  eurot.
  2. Jope maksis enne allahindlust  eurot.

Lahendage võrrandid

  1. 9^{x+2}-\frac{1}{27}=0
    • lineaarvõrrand
  2. \log\ x^2=\log2+\log\left(x+4\right)
    • ruutvõrrand
Vastus
  1. x = 
  2. x1 < x2
    x1 =  
    x2 =  
  1. Kui suure rasvasisaldusega koor saadi, kui segati 200 ml 10% rasva­sisaldusega koort ja 300 ml 35% rasva­sisaldusega koort?
  2. Kui palju tuleb võtta 10% rasva­sisaldusega koort ja kui palju 35% rasva­sisaldusega koort, et nende segamise tulemusena saada 1000 ml 20% rasva­sisaldusega koort?
Vastus
  1. Kahe koore segamisel saadi % rasva­sisaldusega koor.
  2. Lahjemat koort tuleb võtta  ml, rammusamat  ml.
  1. Lahendage võrrand16^{x-3}=\sqrt{2}
    Lineaarvõrrand
  2. Lahendage võrrand \log_2\left(x+8\right)+\log_25= 
    =2\log_2\left(2-x\right)
    Ruutvõrrand

    Lahendid (x1 < x2)

Vastus

Väikses tõlkebüroos töötab kolm inimest: juhataja, tõlk ja toimetaja.

  1. Kui tõsta tõlgi palka 10% ja toimetaja palka 20% võrra, siis oleks nende palkade summa 1600 eurot. Kui aga tõlgi palka tõsta 20% ja toimetaja palka 10% võrra, siis oleks nende palkade summa 1620 eurot. Arvuta tõlgi ja toimetaja palk.
  2. Kõikide töötajate palkade summa on 3000 eurot. Mitu protsenti moodustab juhataja palk tõlgi palgast?
    • juhataja palk  eurot.
Vastus
  1. Tõlgi palk on  eurot, toimetajal  eurot.
  2. Juhataja palk on tõlgi palgast  protsenti.
Seotud sisu
Muud tegevused