Harjutus­ülesanded. Trigono­meetria

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

  1. Lihtsusta avaldis K=\frac{\sin^2x}{\sqrt{1-\cos^2x}}+\sin x
  2. Leia lahendid võrrandile K = −1 vahemikus (180°; 360°).
    x1 < x2
    • x1 = °
    • x2 = °
Vihje
Jaga võrrandi pooled 2-ga.
Skitseeri funktsiooni y = sin(x) graafik ja lahenda võrrand selle abil. Graafiku võid konstrueerida ka mõne arvutiprogrammi abil. 
Lahendus
  1. Kuna \sin^2x+\cos^2x=1,siis 1-\cos^2x=\sin^2x.
    ​K=\frac{\sin^2x}{\sqrt{\sin^2x}}+\sin x=
    =\frac{\sin^2x}{\sin x}+\sin x=2\sin x
  2. 2\sin x=-1
    \sin x=-\frac{1}{2}
    1. ​​x_1=210\degree
    2. x_2=330\degree
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

A=\sin750\degree\sin510\degree+\cos930\degree\cos870\degree+\tan600\degree\tan390\degree

Vihje
1. Teisenda kõik nurgad täispöördest väiksemateks nurkadeks.
2.  Teisenda kõik nurgad esimese veerandi nurkadeks.
3. Kasuta valemit  sin 2 α + cos 2 α = 1 
4. Kasuta trigonomeetriliste funktsioonide põhiväärtuseid  
Vastus

Lahendus

sin 750° sin 510° + cos 930° cos 870° + tan 600° tan 390° =

= sin 30° sin 150° + cos 210° cos 150° + tan 240° tan 30° =

= sin 30° sin30° + (–cos 30°)(–cos 30°) + tan 60° tan 30°​​ =

= sin230° + cos230° + tan 60° tan 30° =

=1+\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=1+\frac{3}{3}=1+1=2

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 3

  1. Lahenda graafiku abil võrrand 2 cos x = 0 lõigus [0; 2π].
    x1 = 
    x2 = 
  2. Kontrolli jooniselt, kas punktid asuvad graafikul
    • Punkt A\left(\frac{3\pi}{2};\ 1\right)graafikul.
    • Punkt B\left(\pi;\ -2\right)graafikul.

.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 4

Linnad A, B ja C moodustavad kolmnurga, kusjuures ∠A = 60° ja ∠B = 100°. Linnade B ja C vaheline kaugus on 120 km.

  1. Leia puuduvad linnadevahelised kaugused kilomeetri täpsusega.
    • ∠C = °
    • Ahelvõrdusjärgi
      • ACkm
      • ABkm
  2. Arvuta nende linnade poolt määratud kolmnurga pindala ruutkilomeetrites täpsusega 102.
    ≈  km2
Lahendus
  1. Leiame kolmanda nurga
    ∠C = 180° – (100° + 60°) = 20°
  2. Koostame siinusteoreemi järgi ahelvõrduse:
    \frac{120}{\sin60\degree}=\frac{AC}{\sin100\degree}=\frac{AB}{\sin20\degree}
  3. AC=\frac{120\cdot\sin100\degree}{\sin60\degree}\approx136\ \mathrm{km}
    AB=\frac{120\cdot\sin20\degree}{\sin60\degree}\approx47\ \mathrm{km}
  4. ​​​Kolmnurga pindala on võrdne poolega kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest. Näiteks võib arvutamiseks valida AB, BC ja ∠B:
    S=\frac{47\cdot120\cdot\sin100\degree}{2}\approx2800\ \mathrm{km^2}​
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 5

Arvuta kaare pikkus l ja sektori pindala S, kui raadius on 8 cm ja kaarele vastav kesknurk on 50°.

  •  cm
  •  cm2
Vastus

Kaare pikkus on cm ja sektori pindala cm2.

Lahendus
  1. Leiame terve ringjoone pikkuse:
    C = 2 ​⋅ 8 ⋅ π = 16π cm
  2. Sektorile 50° vastav kaare osa:
    l=\frac{16\pi\cdot50\degree}{360\degree}=\frac{20\pi}{9}\mathrm{cm}​
  3. ​Leiame terve ringi pindala:
    Sring = 82​ ⋅ π = 64π cm2
  4. ​Sektorile 50° vastav osa:
    ​S=\frac{64\pi\cdot50\degree}{360\degree}=\frac{80\pi}{9}\mathrm{cm^2}
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 6

Arvuta rööpküliku pikem diagonaal sentimeetri täpsusega, kui tema küljed on 650 cm ja 325 cm ning üks nurk on 72°. Leia selle rööpküliku pindala ruutmeetrites.

Vihje
Rööpküliku pikem diagonaal ühendab tema teravnurke. Skitseeri vajadusel joonis.
  • Rööküliku nürinurk °
  • Pikema diagonaali saab leidaabil.
    d2 ≈  cm
    d ≈  cm
  •  cm2 (täisarv)
Vastus

Pikem diagonaal on  cm ja pindala  m2.

Lahendus
  1. Rööpküliku nürinurk:
    ​δ = 180° – 72° = 108°
  2. Otsitava diagonaali saab leida koosinus­teoreemi abil:
    d2 = 6502 + 3252 – 2 ⋅ 650 ⋅ 325 ⋅ cos 108°
    d2 ≈ 658 684,68
    d ​≈ 812 cm​
  3. Rööpküliku pindala on võrdne kahe külje ja nende vahelise nurga siinuse korrutisega.
    S = 325 ​⋅ 650 ⋅ sin 72° ≈
    ​≈ 200 911 cm2 ≈ 20 m2
Seotud sisu
Muud tegevused

Riigieksami ülesanded

  1. Lihtsustage avaldis \cos^2\mathrm{\alpha}-\frac{\sin\mathrm{\alpha}}{\tan\mathrm{\alpha}}+\sin^2\mathrm{\alpha}
  1. Joonisel on funktsiooni f (x) = 1 + cos x graafik lõigul [–180°; 180°]. Leidke sellel lõigul
    1. muutuja väärtused, mille korral f (x) = 1,5
    2. funktsiooni f (x) suurim väärtus
Vastused
  2. Funktsioon f (x) = 1 + cos x
    2. f (x) = 
  1. Lihtsustage avaldis \frac{2\sin^2\mathrm{\alpha}-1}{\sin\mathrm{\alpha}-\cos\mathrm{\alpha}}.
  2. Arvutage selle täpne väärtus, kui \frac{\mathrm{\pi}}{6}.
Vastus
  1. Lihtsustatud avaldis on  (püstkirjas α saab Text-nupu abil).
  2. Avaldise väärtus on 
  1. Ringi sektori nurk on \mathrm{\alpha}=\frac{\pi}{6} radiaani ja raadius on 6 cm. Arvutage selle sektori pindala ja kaare pikkuse täpsed väärtused.
    • sektor on ringist 
  2. Joonisel on funktsiooni y = tan x graafik vahemikus (– 90°; 90°).
  1. Lahendage võrrand tan x = –1, kui x ∈ (–90°; 90°).
  2. Leidke joonise abil funktsiooni y = tan x positiivsus­piirkond, kui x ∈ (– 90°; 90°).
  3. Funktsiooni y = tan x graafikul asub punkt A(60°; m). Leidke m-i täpne väärtus.
Vastus
  1. Sektori pindala on   cm2 ja sektori kaare pikkus  cm.
  2. y = tan x
    1. x = °
    2. X+ = 
    3. m = 

Piljardilaua mänguväli ABCD on ristkülikukujuline. Selle ristküliku küljed on 254 cm ja 127 cm (vt joonist). Kuul on punktis K ning kuuli kaugus piljardilaua külgedest AB ja AD on 45 cm. Pärast lööki põrkab kuul külje BC punktist P külje CD punkti M. Nurgad KPB ja MPC on võrdsed ning suurusega 75°. 

Piljardilaud
  1. Arvutage punkti M kaugus tipust C. (4 p)
    Olgu L punkti K projektsioon küljele BC.
    • KL =  cm
    • LP ≈  cm
    • PC ≈  cm
  1. Arvutage kuuli teekonna pikkus punktist K punkti M. (6 p)
    • KP ≈  cm
    • MP ≈  cm

Lõppvastused esitage täpsusega 1 cm.
NB! Kuuli mõõtmeid lahendamisel ei arvestata.

Vastus
  1. Punkt M on tipust C ligikaudu  cm kaugusel.
  2. Kuuli teekonna pikkust punktist K punkti M on ligikaudu  sentimeetrit.
  1. Lihtsustage avaldis \frac{1-\sin^2x}{\sin\left(90\degree-x\right)}.
  2. Joonisel on funktsiooni f(x) = cos x graafik lõigul [–90°; 90°].
    Graafikul on valitud punkt A(m; 0,5) (vt joonist).
    Leidke m täpne väärtus.
Vastus
  1. Avaldis saab pärast lihtsustamist kuju 
  2. m = °
  1. Lihtsustage avaldis \sin\frac{\pi}{2}-\tan x\cdot\frac{\cos^2x}{\sin x}.
  2. Joonisel on funktsiooni f (x) = 1 – cos x graafik lõigul [0; 2π].
    Lahendage (nt joonise abil) võrrand f (x) = 1, kui x ∈ [0; 2π].
Vastused
  1. Avaldis pärast lihtsustamist 

Joonisel on funktsiooni f (x) = 2 cos x graafik lõigul \left[-\frac{\pi}{2};\ 2\pi\right].

  1. Leidke antud lõigul funktsiooni f (x) negatiivsus­piirkond ja graafiku miinimum­punkti koordinaadid.
  2. Kas punkt A\left(\frac{\pi}{3};\ -1\right) asub funktsiooni f (x) graafikul? Põhjendage oma vastust.
Vastus
  1. X– = , 
  2. Punkt Af (x) graafikul, sest

Joonisel on funktsiooni 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 graafik.

  1. Lahendage võrrand 2 sin x = 1 lõigul [0; 2π].
  2. Leidke funktsiooni 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 kahanemisvahemik lõigul [0; 2π].
Vastused
Seotud sisu
Muud tegevused