Harjutusülesanded. Planimeetria

Seotud sisu
Muud tegevused

Kolmnurk

  1. Võrdkülgse kolmnurga külg on 4 cm. Arvuta selle kolmnurga kõrgus sentimeetrites.
     cm
Vihje
Kasuta Pythagorase teoreemi või seost
 sin60° = hc.
  1. Leia võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt detsimeetrites, kui tema kõrgus on 9 dm.
     dm
Lahendus
  1. Kõrgus
    1. h^2+2^2=4^2
      ​h=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=
      =2\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm\right)}
    2. ​\sin60\degree=\frac{h}{c}=\frac{h}{4}
      h=4\cdot\sin60\degree=​
      =4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm\right)}
  2. Kolmnurga külg a ja ümbermõõt
    1. ​​9^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2
      a^2-\frac{a^2}{4}=81
      \frac{3a^2}{4}=81
      ​​​3a^2=324,\ a^2=108
      a=6\sqrt{3}
    2. \sin60\degree=\frac{9}{a},\ a=\frac{9}{\sin60\degree}
      a=6\sqrt{3}
    3. P=3\cdot6\sqrt{3}=18\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm\right)}
  1. pindala, kui alus on 22 cm ja haar 6,1 dm
    • h =  cm
    • S = cm2
  2. kõrgus, kui alus on 12 cm ja alus­nurk 49°.
    • h ≈  cm
  3. pindala, kui kõrgus on 10 m ja tipu­nurk 70°.
    • alus ≈  
    • S ≈  cm2
  4. tipunurk β, kui haar on 10 cm ja alus 4 cm.
    • β ≈ °
Vihje
Kasuta Pythagorase teoreemi või trigonomeetrilisi põhiseoseid täisnurkses kolmnurgas.
Lahendus
  1. h^2=61^2-\left(\frac{22}{2}\right)^2
    h=\sqrt{3721-121}=60\ \mathrm{\left(cm\right)}
    ​​S=\frac{22\cdot60}{2}=660\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
  2. \tan49\degree=\frac{h}{0,5\cdot12}
    h=6\cdot\tan49\degree\approx6,9\ \mathrm{\left(cm\right)}
  3. \tan\left(\frac{70\degree}{2}\right)=\frac{0,5a}{10}
    a=2\cdot10\cdot\tan35\degree\approx14\ \mathrm{\left(cm\right)}
    S\approx\frac{14\cdot10}{2}\approx70\ \mathrm{\left(cm^2\right)}​
  4. \sin\left(\mathrm{\frac{\beta}{2}}\right)=\frac{0,5\cdot4}{10}=0,2
    \mathrm{\beta=}2\cdot\sin^{-1}\left(0,2\right)\approx23,1\degree​​​
Seotud sisu
Muud tegevused

Nelinurk

  1. diagonaal on 10,9 dm ja külg a on 6 dm.
    • külg b =  dm
    • S =  dm2
  2. nurk 12 cm külje a ja diagonaali vahel on 21°.
    • b ≈  cm
    • S ≈  cm2
Lahendus
  1. b=\sqrt{10,9^2-6^2}=\sqrt{118,81-36}=
    =\sqrt{82,81}=9,1\ \mathrm{\left(dm\right)}
    ​​S=6\cdot9,1=54,6\ \left(\mathrm{dm^2}\right)
  2. \tan21\degree=\frac{b}{12}
    b=12\cdot\tan21\degree\approx4,6\ \mathrm{\left(cm\right)}
    S\approx12\cdot4,6\approx55,2\ \mathrm{\left(cm^2\right)}\ või​
    ​​S=12\cdot12\cdot\tan21\degree\approx55,3\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
  1. Leia rööpküliku ühele küljele tõmmatud kõrgus, kui selle külje lähiskülg on 10 cm ja teravnurk 54°.
    • h ≈  cm
  2. Rööpküliku ümbermõõt on 32 dm ning üks külg teisest 40% võrra lühem. Arvuta selle rööpküliku pindala, kui teravnurk on 75°.
    • lühem külg =  dm
    • pikem külg =  dm
    • S ≈  dm2
Lahendus
  1. \sin54\degree=\frac{h}{10}
    h=10\cdot\sin54\degree\approx8,1\ \mathrm{\left(cm\right)}
  2. b=0,6a
    2a+1,2a=32,\ a=10\ \mathrm{\left(dm\right)}
    ​​b=0,6\cdot10=6\ \mathrm{\left(dm\right)}
    S=6\cdot10\cdot\sin75\degree\approx58\ \mathrm{\left(dm^2\right)}​
  1. Arvuta rombi pindala, kui üks diagonaal on 30 cm ning ümbermõõt 1 m.
    • d2 =  cm
    • S =  cm2
  2. Arvuta rombi pindala, kui külje pikkus on 25 dm ja lühem diagonaal 1,4 m.
    • d2 =  dm
    • S =  dm2
  3. Arvuta rombi nurgad, kui ümbermõõt on 28 dm ja lühem diagonaal 6 dm.
    • α ≈ ° (teravnurk)
    • β ≈ ° (nürinurk)

.

Lahendus
  1. 0,5d_2=\sqrt{\left(\frac{100}{4}\right)^2-\left(\frac{30}{2}\right)^2}
    d_2=2\cdot\sqrt{625-225}=40\ \mathrm{\left(cm\right)}
    ​​S=\frac{30\cdot40}{2}=600\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
  2. 0,5d_2=\sqrt{25^2-\left(\frac{14}{2}\right)^2}
    d_2=2\cdot\sqrt{625-49}=48\ \mathrm{\left(cm\right)}
    ​​S=\frac{14\cdot48}{2}=336\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
  3. \sin\left(\frac{\mathrm{\alpha}}{2}\right)=\frac{0,5\cdot6}{0,25\cdot28}=\frac{3}{7}
    \mathrm{\alpha}=2\cdot\sin^{-1}\left(\frac{3}{7}\right)\approx50,8\degree
    \mathrm{\beta}\approx180\degree-50,8\degree\approx129,2\degreevõi
    ​​​\cos\left(\frac{\mathrm{\mathrm{\beta}}}{2}\right)=\frac{0,5\cdot6}{0,25\cdot28}=\frac{3}{7}
    ​\mathrm{\mathrm{\beta}}=2\cdot\cos^{-1}\left(\frac{3}{7}\right)\approx129,2\degree
    ​\mathrm{\alpha}\approx180\degree-129,2\degree\approx50,8\degree
  1. Arvuta trapetsi pindala, kui trapets on võrdhaarne, 13 cm pikkuse haaraga ning alused on 48 cm ja 38 cm.
    • h =  cm
    • S =  cm2
  2. Arvuta trapetsi pindala, kui täisnurkse trapetsi pikem haar on 12,5 cm ning alused 13 cm ja 23 cm.
    • h =  cm
    • S =  cm2
  3. Arvuta trapetsi pindala, kui võrdhaarse trapetsi alusnurgad on 40°, haar ning lühem alus 10 cm.
    • h ≈  cm
    • pikem alus ≈  cm
    • S ≈  cm2
  4. Arvuta võrdhaarse trapetsi nurgad, kui kõrgus on 8 cm ja alused 14 cm ja 2 cm.
    • α ≈ °
    • β ≈ °
Lahendus
  1. h=\sqrt{13^2-\left(\frac{48-38}{2}\right)^2}=
    =\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{\left(cm\right)}
    ​​S=\frac{38+48}{2}\cdot12=516\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
  2. h=\sqrt{12,5^2-\left(23-13\right)^2}=
    =\sqrt{156,25-100}=
    =\sqrt{56,25}=7,5\ \mathrm{\left(cm\right)}
    ​​​S=\frac{13+23}{2}\cdot7,5=135\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
  3. \sin40\degree=\frac{h}{10}
    h=10\cdot\sin40\degree\approx6,4\ \mathrm{\left(cm\right)}
    ​​\cos40\degree=\frac{kaatet}{10}
    a_2=10+2\cdot10\cdot\cos40\degree\approx25,3\ \mathrm{\left(cm\right)}
    ​​S\approx\frac{10+25,3}{2}\cdot6,4\approx113\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
  4. \tan\mathrm{\alpha}=\frac{8}{0,5\left(14-2\right)}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}
    \mathrm{\alpha=\tan^{-1}}\left(\frac{4}{3}\right)\approx53,1\degree
    ​​\mathrm{\beta\approx180\degree-53,1\degree=126.9\degree}
Seotud sisu
Muud tegevused

Hulknurk

  1. külg on 4 cm. Arvuta kuusnurga täpne pindala ja apoteem.
    •  cm
    •  cm2
  2. apoteem on 4 cm. Arvuta kuusnurga täpne ümbermõõt.
    •  cm
  3. pindala on 150\sqrt{3}\ \mathrm{cm^2.}  Leia kuusnurga ümbermõõt.
    • P =  cm
Lahendus
  1. \tan60\degree=\frac{r}{0,5\cdot4}
    r=2\cdot\tan60\degree=2\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm\right)}
    ​​S=\frac{6\cdot4}{2}\cdot2\sqrt{3}=24\sqrt{3}\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
  2. \frac{a\sqrt{3}}{2}=4,\ a=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}
    P=6\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3}=16\sqrt{3}\ \left(\mathrm{cm}\right)
  3. 3a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}
    3a^2\sqrt{3}=300\sqrt{3}
    ​​a^2=100,\ a=10\ \left(\mathrm{cm}\right)
    ​P=6\cdot10=60\ \left(\mathrm{cm}\right)

n

a

r

R

P

S

5

4

8

10

12

6

Lahendus
  1. Kui n = 5, siis \mathrm{\varphi}=\frac{\left(5-2\right)\cdot180\degree}{5\cdot2}=54\degree. 
    ​\sin54\degree=\frac{r}{4},\ r=4\cdot\sin54\degree\approx3,2
    \cos54\degree=\frac{0,5a}{4},\ a=4\cdot2\cdot\cos54\degree\approx4,7
    P=5\cdot8\cdot\cos54\degree\approx23,5
    S=5\cdot\frac{4\cdot\sin54\degree\cdot8\cdot\cos54\degree}{2}\approx38,0 ​
  2. Kui n = 8, siis
    \mathrm{\varphi}=\frac{\left(8-2\right)\cdot180\degree}{8\cdot2}=67,5\degree.
    \tan67,5\degree=\frac{10}{0,5a},\ a=\frac{2\cdot10}{\tan67,5\degree}\approx8,3
    ​​​P=8\cdot\frac{20}{\tan67\degree}\approx66,3
    ​S=8\cdot\frac{20\cdot10}{2\cdot\tan67,5\degree}\approx331,4
  3. Kui n = 12, siis
    \mathrm{\varphi}=\frac{\left(12-2\right)\cdot180\degree}{12\cdot2}=75\degree.
    \tan75\degree=\frac{r}{0,5\cdot6},\ r=3\cdot\tan75\degree\approx11,2
    P=12\cdot6=72,0
    ​​​​S=12\cdot\frac{6\cdot3\cdot\tan75\degree}{2}\approx403,1
Seotud sisu
Muud tegevused

Ring

  1. Ringi läbimõõduga 178 cm on joonestatud 160 cm kõõl. Leia kõõlu kaugus a ringi keskpunktist.
    • a = 
Vihje
Kõõlu kaugus ringi keskpunktist on täisnurkse kolmnurga üks kaatet, pool kõõlust teine kaatet ja ringi raadius hüpotenuus.
  1. Kõõl pikkusega 33 cm asub ringi keskpunktist 22 cm kaugusel. Leia ringi raadius.
    • r =  cm
Lahendus
  1. r=178\ :\ 2=89\ \left(\mathrm{cm}\right)\ \left(\mathrm{hüpotenuus}\right)​b=160\ :\ 2\ =80\ \left(\mathrm{cm}\right)
    a=\sqrt{89^2-80^2}=39\ \left(\mathrm{cm}\right)
  2. a=33\ :\ 2=16,5\ \left(\mathrm{cm}\right)
    b=22\ \left(\mathrm{cm}\right)
    r=\sqrt{16,5^2+22^2}=27,5\ \left(\mathrm{cm}\right)​​
Seotud sisu
Muud tegevused

Riigieksamite ülesanded

Aiamaa krunt on kolmnurgakujuline. Krundi külje AB pikkus on 20 m, külje AC pikkus on 30 m ja nende külgede vaheline nurk on 50°.

  1. Tehke tekstile vastav joonis.
  2. Arvutage krundi ümbermõõt ja pindala.
    • BC ≈   m
  3. Krundile on paigaldatud kaks aiavalgustit. Üks neist asub tipus A ja teine küljel BC täpselt 9 m kaugusel tipust C. Arvutage, kui kaugel asuvad valgustid teineteisest.
    • ∠C ≈ °
Vastused
  1. P ≈  m
    S ≈  m2
  2. Laternad on teineteisest  meetri kaugusel.
Joonis (vastus 1)

Täisnurkse kolmnurga ABC kaateti AC pikkus on 8 cm ja pindala 60 cm2.

  1. Arvutage kolmnurga ABC ümbermõõt.
    • BC =  cm
    • AB =  cm
  2. Kaatetil BC asub punkt D nii, et lõik AD poolitab teravnurga BAC. Tehke tekstile vastav joonis ja arvutage kolmnurga ADB pindala.
    • CD =  cm
    • BD =  cm
Vastused
  1. Kolmnurga ABC ümbermõõt on  cm.
  2. Kolmnurga ADB pindala on  cm2.
Joonis

Kolmnurga küljed on 5 cm, 6 cm ja 5 cm. Arvutage selle kolmnurga suurim nurk ja täpne pindala.

Vastus

Suurim nurk on ligikaudu  kraadi ja pindala  cm2.

Kolmnurga KLM külg LK on 700 m ja külg LM on 800 m. Nurk nende külgede vahel on 120°. Arvutage selle kolmnurga ümbermõõt ja pindala.

  • KM =  m
Vastus

Selle kolmnurga ümbermõõt on  meetrit ja pindala ligikaudu  m2.

Bermuda kolmnurk, Bermuda saarte, Florida lõunatipu ja Puerto Rico vaheline Atlandi ookeani osa, mis on saanud tuntuks rohkete selgitamata laeva- ja lennuõnnetuste tõttu.

Allikas: entsyklopeedia.ee

Bermuda kolmnurga tipud on Miami, San Juan ja Hamilton. Miami ja Hamiltoni vahemaa on 1676 km ning kolmnurga sisenurgad nende tippude juures on vastavalt 54,7° ja 59,4° (vt joonist). Arvutage Bermuda kolmnurga pindala täpsusega 1000 km2.

  • kolmas nurk = °
  • Hamiltoni ja San Juani vahemaa
     km
  • Miami ja San Juani vahemaa
     km
Vastus

Bermuda kolmnurga pindala on ligikaudu  km2.

Punktist A punkti B saab liikuda mööda ringjoone kaare kujulist teed või mööda sirgeid teid (AO ja OB). Selle ringjoone raadius on OB = 500 m ja kaarele AB vastav kesknurk on 113° (vt joonist).

  1. Mitme minutiga jõuab jalakäija punktist A punkti B, kui ta liigub mööda sirgeid teid ja tema keskmine kiirus on 5 km/h?
    • s =  km
    • t =  h
  2. Kumb vahemaa (kas kaarekujuline tee AB või teede AO ja OB summa) on lühem? Põhjendage oma vastust.
    • sAB ≈  m
    • sAO+OB =  m
  3. Plaanis on rajada uus sirge tee punktist A punkti B. Mitme meetri võrra lühendab rajatav tee AB hetkel lühimat vahemaad punktist A punkti B? NB! Lõppvastus ümardage täpsusega 1 meeter.
    • uus tee ≈  m
Vastused
  1. Jalakäija läbib selle vahemaa  minutiga.
  2. on lühem.
  3. Vahemaa lüheneb  meetri võrra.

Kolmnurkse maatüki ABC külg AB on 437 m ja külg AC on 270 m. Nurk antud külgede vahel on 114°.

  1. Arvutage maatüki kolmas külg BC meetrites (ümardage ühelisteni) ja maatüki pindala hektarites (ümardage sajandikeni).
    • SABC  ≈  m2
  2. Soovitakse rajada võimalikult lühike teelõik maatüki tipust A küljeni BC. Kui pikk teelõik meetrites (ümardage ühelisteni) tuleks rajada?
Vastused
  1. BC ≈  m
    SABC  ≈  ha
  2. Teepikkus oleks ligikaudu  meetrit.

Joonestage koordinaatteljestikku sirged y=\frac{1}{2}x+2 ja x = 6.

  1. Viirutage kujund, mis on piiratud antud sirgete ja mõlema koordinaatteljega.
  2. Arvutage viirutatud kujundi pindala.
    •  tipud päripäeva (alates koordinaatide alguspunktist) on



Vastus
  1. S =  pü
Joonis (vastus 1)

Õpilane Juhan joonestas GeoGebra arvutiprogrammi abil võrdhaarse kolmnurga ABC. Kolmnurga haar BC oli pikkusega 10 cm ja tipunurk ACB oli 64°. Juhan joonestas haarale BC kõrguse, mis jaotas kolmnurga ABC kaheks osaks: kolmnurkadeks ABD ja ACD. Juhanile näis, et kolmnurga ABD pindala oli 2 korda suurem kui kolmnurga ACD pindala. Arvutage kolmnurkade ABD ja ACD pindalad ning otsustage, kas Juhanil oli õigus.

Vastus

Juhanilõigus, sest

  • SABD ≈  cm2
  • SACD ≈  cm2

Metsaäärne peenramaa on täisnurkse trapetsi kujuline. Peenramaad tahetakse metsloomade eest kaitsta võrguga. Trapetsikujulise peenramaa lühem diagonaal on 10 m, pikem haar 6 m ja nendevaheline nurk on 120°. Mitu meetrit võrku kulub peenramaa piiramiseks? Lõppvastus esitage täpsusega üks meeter.

  • pikem alus =  m
  • lühem alus =  m
  • lühem haar =  m
Vastus

Võrku kulub  meetrit.

Seotud sisu
Muud tegevused