Harjutusülesanded. Stereomeetria

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

Korrapärase nelinurkse prisma kujulise kaanega karbi põhja pindala on 144 cm2 ja karbi kõrgus on 14 cm.

  1. Arvuta selle karbi põhiserva pikkus.
Vihje
Korrapärase nelinurkse prisma põhjaks on korrapärane nelinurk ehk ruut.
  1. Arvuta selle karbi täispindala.
    • Sk =  cm2
  2. Mitu ruutsentimeetrit pappi on vaja selle karbi valmistamiseks, kui on teada, et 10% papist kulub ühendusteks ja lõikamisele? Vastus ümarda ühelisteni.
Vihje
Kuna on teada, et 10% papist kulub ühendusteks ja lõikamisele, siis karbi täispindala on 90% vajalikust papi kogusest.
  1. Sellesse karpi pakendatakse silindrikujuline küünal, mille põhja pindala on 95 cm2 ja kõrgus 13 cm. Mitu sentimeetrit on selle küünla läbimõõt ühiku täpsusega?
  2. Küünla ümber jäävasse ruumi pannakse täite­materjali. Mitu kuup­sentimeetrit täitematerjali on selleks vaja?
    • Vkarp =  cm3
    • Vküünal =  cm3
Vastused
  1. Põhiserva pikkus on  cm.
  2. Täispindala on  cm2.
  3. Selle karbi valmistamiseks kulub   cm2 pappi.
  4. Küünla läbimõõt on ligikaudu  cm.
  5. Täitematerjali on vaja  cm3.
Lahendus
  1. Sp = a2
    a2 = 144
    a=\sqrt{144}=12 (cm)
  2. St = 2Sp + Sk
    Sk = PH
    P = 4a
    P = 4 · 12 = 48 (cm)
    Sk = 48 · 14 = 672 (cm2)
    St = 2 · 144 + 672 = 960 (cm2) ​​​​​
  3. 960 cm2 = 90%
    ​x cm2 = 100%
    x=\frac{100\cdot960\ }{90}=1066,\left(6\right)\approx
    \approx1067\ \mathrm{\left(cm^2\right)}
  4. ​Sring = πr2
    95 = ​πr2
    r^2=\frac{95}{\pi},\ r=\sqrt{\frac{95}{\pi}}\approx5,5\ \mathrm{\left(cm\right)}
    ​​d = 2r
    d ≈ 11 cm​
  5. Vvaba = Vkarp − Vküünal
    ​Vvaba = 144 · 14 – 95 · 13 =
    = 781 (cm2)​
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus on 3 m ning püramiidi apoteemi ja põhja vaheline nurk on 60°. Arvuta püramiidi täispindala ja ruumala.

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Korrapärane nelinurkne püramiid
Püramiidi lõige mööda apoteeme
  • Püramiidi apoteem 
Vihje
Püramiidi apoteem m on täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusiks.

m =  m

  • Põhja apoteem
Vihje
Põhja apoteem r on täisnurkses kolmnurgas antud nurga lähiskaatet.

r =  m

  • Püramiidi põhiserv
Vihje
Ruudu korral a = 2r.

a =  m

  • Püramiidi põhja pindala
Vihje
Püramiidi põhjaks on ruut.

Sp =  m2

  • Püramiidi külgpindala
Vihje
Kasuta korrapärase püramiidi külgpindala valemit.
n = 4 , sest põhjaks on korrapärane nelinurk.

Sk =  m2

Vastus

Püramiidi täispindala on  m2 ja ruumala  m3.

Lahendus
  1. Püramiidi apoteem m on täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusiks.
    ​\sin60\degree=\frac{3}{m}\Rightarrow
    ​\Rightarrow\ m=\frac{3}{\sin60\degree}=2\sqrt{3}\ \mathrm{\left(m\right)}
  2. Põhja apoteem r on täisnurkses kolmnurgas antud nurga lähiskaatet.
    \tan60\degree=\frac{3}{r}\Rightarrow
    ​​\Rightarrow\ r=\frac{3}{\tan60\degree}=\sqrt{3}\ \left(\mathrm{m}\right)
  3. Ruudu korral a = 2r
    a=2\sqrt{3}\ \mathrm{\left(m\right)}
  4. ​Püramiidi põhjaks on ruut.
    S_p=\left(2\sqrt{3}\right)^2=4\ ·\ 3\ =\ 12\ \mathrm{\left(m^2\right)}
  5. ​S_k=\frac{nam}{2}
    S_k=\frac{4\ ·\ 2\sqrt{3}\ ·\ 2\sqrt{3}}{2}=24\ \mathrm{\left(m^2\right)}\
  6. St = Sp + Sk
    St = 12 + 24 = 36 (m2)​
  7. Püramiidi ruumala on kolmandik sama suure põhjaga ning sama kõrge püstprisma ruumalast.
    V=\frac{S_pH}{3}
    V=\frac{12\ ·\ 3}{3}=12\ \mathrm{\left(m^3\right)}​​
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 3

Koonuse telglõige on võrdkülgne kolmnurk, mille külje pikkus on 18 cm.

  1. Arvuta koonuse kõrgus.
  2. Mitu liitrit see koonus mahutab? Ümarda vastus kümnendikeni.
    • r =  cm
    • V ≈  cm3
    • 1 l =  dm3
Vastused
  1. Koonuse kõrgus on  cm.
  2. Koonus mahutab ligikaudu  liitrit.
Lahendus
  1. Koonuse kõrgus H on ka telglõike kõrgus.
    H=\sqrt{18^2-9^2}=9\sqrt{3}\mathrm{\left(cm\right)}
  2. ​Telglõike aluseks olev külg on ka põhja diameeter.
    r = 18 : 2 = 9 (cm)
    Sp = πr2
    Sp = ​π · 92 = 81π (cm2)
    V=\frac{S_pH}{3}​​
    ​​V=\frac{81\pi\ ·\ 9\sqrt{3}}{3}=243\pi\sqrt{3}\mathrm{\approx}
    \approx1322\ \mathrm{\left(cm^3\right)\approx1,3\ dm^3\approx1.3\ l}​
Seotud sisu
Muud tegevused

Riigieksamite ülesanded

Klaaspakendite konteiner (vt joonist) koosneb silindri- ja selle peal asetsevast koonuse­kujulisest osast. Silindri­kujulise osa kõrgus on 1,6 meetrit ja põhja ümbermõõt 4,7 meetrit. Koosnuse­kujulise osa moodustaja ja põhja vaheline nurk on 21°.

  1. Leidke klaaspakendite konteineri ruumala, arvestamata konteineri seinte paksust.
    • r ≈  m
    • hkoonus ≈  m
    • Vsilinder ≈ 
      •  m3
  2. Vkoonus ≈  m3
  3. Olmeprügi konteineri ruumala on 770 liitrit. Kumma konteineri ruumala on suurem? Põhjendage oma vastust.
    • Vklaas ≈  liitrit
Vastused
  1. Konteineri ruumala on ligikaudu  kuupmeetrit.
  2. konteiner on suurem, sest 3000 l > 770 l.

Mare keetis putru silindrikujulises potis, mille sisemine läbimõõt oli 24 cm. Poti sisemine kõrgus oli 15 cm.

  1. Kas sellesse potti mahub 7 liitrit putru? Põhjendage oma vastust.
    • r =  cm
    • V ≈  cm3
  2. Pudru segamiseks kasutas Mare 26 cm pikkust lusikat. Kogemata libises lusikas käest ja vajus täiesti pudru sisse. Mitu liitrit putru pidi potis selleks vähemalt olema? Arvutage minimaalne kogus ja esitage täpsusega 0,1 liitrit. Lusika kuju ja paksus jätke arvestamata.
    • hmin =  cm
    • Vmin ≈  cm3
Vastused
  1. Sellesse potti7 liitrit putru.
  2. Minimaalne pudrukogus potis oli  liitrit.

Koonusekujulise torniosa moodustaja on 6 m ning nurk moodustaja ja põhja vahel on 30°.

  1. Arvutage koonusekujulise torniosa ruumala ja külgpindala.
    •  m
    •  m
  2. Mitu liitrit värvi kulub koonusekujulise torniosa välispinna värvimiseks, kui 2,7 liitriga saab värvida 32 m2?

NB! Vastus ümardage kümnendikeni.

Vastused
  1. Koonusekujulise torniosa ruumala on ligikaudu  m3 ja külgpindala ligikaudu  m2.
  2. Koonusekujulise torniosa välispinna värvimiseks kulub ligikaudu  liitrit värvi.

Kohvik kasutab kahes suuruses risttahuka­kujulisi koogikarpe. Mõlema karbi põhi on ruudu­kujuline. Väiksema koogikarbi kõrgus on 6 cm ja ruumala 864 cm3. Suurema koogikarbi ruumala on 2 dm3 ja selle põhiserv on neli korda pikem kui kõrgus.

  1. Arvutage väiksema koogikarbi diagonaali pikkus ja suurema koogikarbi kõrgus.
    • aväiksem karp =  cm
    • asuurem karp =  cm
  2. Kas väike koogikarp tervikuna mahub suure koogi­karbi sisse? Põhjendage oma vastust.
Vastused
  1. Väiksema karbi diagonaal on  cm ja suure karbi kõrgus  cm.
  2. Väiksem karpsuurema sisse, sest ta on

Koonuse moodustaja on 10 cm ja selle koonuse telglõike tipunurk on 120°. Tehke illustreeriv joonis ning arvutage koonuse täispindala ja ruumala.

  • h =  cm
  • r =  cm
  • Sp =  cm2
  • Sk =  cm2
Vastus

Koonuse täispindala on  cm2 ja ruumala  cm3.

Joonis

Telk on korrapärase nelinurkse püramiidi kujuline (vt joonist). Telgi külgpindala on 192 m2 ja põhja pindala on 144 m2.

  1. Arvutage telgi põhiserv ja külgserv.
    • apoteem =   m
  2. Tähistage joonisel nurk telgi põhiserva ja külgserva vahel ning arvutage see.
  3. Arvutage telgi ruumala. Lõppvastus andke täpsusega 1 m3.
    •  m
Vastused
  1. Põhiserv =  m
    Külgserv =  m
  2. Nurk≈ °
  3. V ≈  m3

Silindrikujuline mahuti on trosside abil kinnitatud maapinnale (joonisel on kujutatud üht trossi). Iga trossi kinnituskoht maapinnal on mahutist 4,9 m kaugusel ja iga tross moodustab maapinnaga nurga 55°. Mahuti põhja ümbermõõt on ligikaudu 15,7 m.

  1. Arvutage mahuti külgpindala ja ruumala.
    • h ≈  m
    • d ≈  m
  2. Kui palju maksaks mahutitäis kütust, kui ühe liitri hind on 0,984 eurot? Vastus andke täpsusega 100 eurot.
    • 1 m3 =  liitrit

Märkus. Mahuti põhja ja külgpinna paksust arvutustes ei arvestata.

Vastused
  1. Mahuti külgpindala on  m2 ja ruumala  m3.
  2. Kütus mahutis maksab ligikaudu  eurot.

Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus on 10 cm ja põhitahu diagonaal on 12 cm.

  1. Tehke ülesande tekstiga sobiv joonis.
  2. Arvutage püramiidi ruumala ning nurk külgtahu ja põhitahu vahel.
    • a =  m
    • Sp =  cm2
Vastused
  1. V =  cm3
    Nurk põhi- ja külgtahu vahel on ligikaudu  kraadi.
Joonis

Korrapärase kolmnurkse püstprisma kujulisse vaasi valatakse pool liitrit vett. Vaasi kõrgus on 20 cm ja põhiserv on 14 cm.

  1. Arvutage veetaseme kõrgus vaasis.
    • hpõhi =  cm
  2. Kui suur osa vaasi sisust jääb veega täitmata?
    • Vvaas =cm3

NB! Vaasi seinte ja põhja paksust arvutamisel ei arvestata.

Vastused
  1. Veetaseme kõrgus vaasis on  cm.
  2. Vaasist jääb täitmata  protsenti.
Seotud sisu
Muud tegevused