Harjutus­ülesanded. Vektor ruumis

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

Rööpküliku järjestikuste tippude koordinaadid on A(4; –1; 3), B(–2; 4; –5), C(1; 0; –4), D(x; y; z).

  1. Leia tipu D koordinaatide summa x + y + z.
    • Tipp 
Vihje
1. Puuduva tipu koordinaatide leidmiseks tuleb leida vektor  BA →
2. Tipu D leidmiseks avalda vektor  CD →
  1. Arvuta rööpküliku täpne ümbermõõt ja ühelisteni ümardatud pindala.
    • cos φ ≈ °
Vihje
1. Ümbermõõdu leidmiseks leia lähiskülgede vektorite pikkused.
2. Pindala saab leida valemiga
 S = absin φ
3. Leis skalaarkorrutise abil nurk φ.
Vastused
  2.  ühikut
     ruutühikut
Lahendus
  1. Rööpküliku külgede vektorid \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD} ja \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}. Puuduva tipu koordinaatide leidmiseks tuleb leida vektor
     \overrightarrow{BA}=(4 – (–2); –1 – 4; 3 – (–5)) =​
    ​= (6; –5; 8) 
  2. \overrightarrow{CD}=\left(x-1;\ y;\ z+4\right). Kuna \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}, siis
    (x – 1; y; z + 4) = (6; –5; 8)
    x – 1 = 6 ⇒ x = 7
    ​​​​y = –5
    ​z + 4 = 8 ⇒ z = 4
  3. Summa x + y + z = 7 – 5 + 4 = 6​
  4. Ümbermõõdu leidmiseks leiame lähiskülgede vektorite, näiteks \overrightarrow{AB} ja \overrightarrow{AD}, pikkused.
    ​\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{36+25+64}=5\sqrt{5}
    ​\left|\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{9+16+1}=\sqrt{26}
  5. P=2\cdot5\sqrt{5}+2\sqrt{26}=
    =10\sqrt{5}+2\sqrt{26}(ühikut)
  6. Pindala saab leida valemiga S = ab sin φ või vektor­korrutise abil (pole õppekavas). Kuna lähiskülgede pikkused on teada, tuleb skalaar­korrutise abil leida rööpküliku nurk φ.
    ​\cos\mathrm{\varphi}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AD}\right|}
    \overrightarrow{AB}=\left(-6;\ 5;\ -8\right), \overrightarrow{AD}=\left(3;\ -4;\ 1\right)
    \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=-18-20-8=-46
    \cos\mathrm{\varphi}=\frac{-46}{5\sqrt{5}\cdot\sqrt{26}}
    ​​​φ ≈ 143,8°
  7. Pindala
    S=5\sqrt{5}\cdot\sqrt{26}\cdot\sin\left(143,8\degree\right)\approx34​ (ruutühikut)​
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

Kolmnurga tipud on punktides C(–3; 4; 3), D(1; –2; 5), E(–1; –8; 4).

  1. Leia selle kolmnurga mediaanide lõikepunkti M koordinaadid.
Vihje
Kõige lihtsam on leida mediaanide järgmist reeglit kasutades:
Mediaanide lõikepunkti koordinaadid on kolmnurga tippude vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised.
  1. Leia tipust C tõmmatud mediaani m = CF täpne pikkus.
Vihje
1. Punkt F on külje DE keskpunkt. Selle punkti koordinaadid on punktide D ja E vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised.
2. Leia mediaani vektoe ja selle pikkus.
Vastused
  2.  ühikut
Lahendus
  1. Kõige lihtsam on leida mediaanide järgmist reeglit kasutades: Mediaanide lõikepunkti koordinaadid on kolmnurga tippude vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised.x_M=\frac{-3+1-1}{3}=-1
    y_M=\frac{4-2-8}{3}=-2
    ​​z_M=\frac{3+5+4}{3}=4
    M(–1; –2; 4)​
  2. Punkt F on külje DE keskpunkt. Selle punkti koordinaadid on punktide D ja E vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised.
    ​F\left(\frac{1-1}{2};\frac{-2-8}{2};\frac{5+4}{2}\right)
    F(0; –​5; 4,5)
  3. Mediaani vektor \overrightarrow{CF}=\left(3;\ -9;\ 1,5\right) ja selle pikkus
    \left|\overrightarrow{CF}\right|=\sqrt{9+81+2,25}=\sqrt{92,25}
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 3

Millise parameetri p korral on vektorid risti?

\vec{a}=\left(5-p\right)\vec{i}-4\vec{j}+2p\vec{k} ja \vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}+p\vec{k}

  • Ruutvõrrand 
Vihje
Vektorid on risti, kui nende skalaarkorrutis on null. Avalda vektorite koordinaadid ning koosta ja lahenda  ruutvõrrand.
Vastused

 (p1 < p2)

Lahendus
  1. Vektorid on risti, kui nende skalaar­korrutis on null. Siin on vektorid avaldatud telgede­suunaliste ühikvektorite \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k} kaudu.
    \vec{a}=\left(5-p;\ -4;\ 2p\right)
    ​​\vec{b}=\left(1;\ 2;\ p\right)
  2. (5 – p) ⋅ 1 – 4 ⋅ 2 + 2p ⋅ p = 0
    5 – p – 8 + 2p2 = 0
    2p2 – p – 3 = 0
    p1 = –1
    p2​= 1,5​​​
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 4

Millise parameetri p korral on vektorid kollineaarsed?
\vec{a}=\left(5-p;\ 4;\ 2p\right) ja \vec{b}=\left(3;\ 2;\ p\right)

  • Kollineaarsuse tingimus
Vastus

Lahendus

Vektorid on kollineaarsed, kui nende vastavad koordinaadid on võrdelised.
​\frac{5-p}{3}=\frac{4}{2}=\frac{2p}{p}
​\frac{5-p}{3}=2=2
​\frac{5-p}{3}=2
5 –​ p = 6
p = ​–1

Seotud sisu
Muud tegevused

Riigieksami ülesandeid

Kera diameetri otspunktid on A (–1; 3; 4) ja B (3; –4; 0).

  1. Arvutage kera kesk­punkti O koordinaadid ja kera ruumala.
  2. Punkt C (4; 1; –1) asub kera pinnal. Arvutage nurk ACB.
Vastused

  1. V =  π
  2. ∠ACB = °

Ruumis on antud vektorid \vec{a}=\left(-1;\ 5;\ 4\right) ja \vec{b}=\left(3;\ -5;\ -2\right). Arvutage vektori \vec{c}=2\vec{a}-\vec{b} koordinaadid ning nurk vektorite \vec{a} ja \vec{b} vahel.

Vastus

Vektor  ja nurk vektorite \vec{a} ja \vec{b} vahel on °.

Seotud sisu
Muud tegevused