Harjutusülesanded. Vektor ja joon tasandil

Ülesanne 1

On antud vektorid \vec{a}=4\vec{i}-6\vec{j} ja \vec{b}=-\vec{i}+5\vec{j}. Leia vektori \vec{c}=\frac{\vec{a}}{2}-3\vec{b} täpne pikkus.

Vihje

Vektorid on antud koordinaattelgede suunaliste ühikvektorite kaudu. Kirjuta need vektorid koordinaatidega.Vektori korrutamisel arvuga korrutatakse selle vektori kõiki koordinaate antud arvuga.

Vastus

Vektori pikkus

Lahendus

Vektorid on antud koordinaattelgede suunaliste ühikvektorite kaudu. Need vektorid võib kirja panna ka nii:\vec{a}=\left(4;\ -6\right),\vec{b}=\left(-1;\ 5\right)
Vektori korrutamisel arvuga korrutatakse selle vektori kõiki koordinaate antud arvuga.\frac{\vec{a}}{2}=\left(\frac{4}{2};\ \frac{-6}{2}\right)=\left(2;\ -3\right)3\vec{b}=\left(3\cdot\left(-1\right);\ 3\cdot5\right)=\left(-3;\ 15\right)
Leia vektor \vec{c}. \vec{c}=\left(2;\ -3\right)-\left(-3;\ 15\right)==\left(5;\ -18\right)
Vektori pikkus \left|\vec{c}\right|=\sqrt{5^2+\left(-18\right)^2}=\sqrt{349}

Seotud sisu

Ülesanne 2

Kolmnurga ABC tipud on A(4; 1), B(–3; 1), C(0; –5).

Leia kolmnurga külgede võrrandid.

Vihje

Koosta sirge võrrandid näiteks tõusu ja algordinaadi järgi. Tõus leia sihivektori abil.

Leia kolmnurga ABC külgede pikkused.
Leia kolmnurga suurima nurga koosinuse täpne väärtus.

Vihje

Suurim nurk on pikima külje vastas, järelikult on suurim ∠B . Selle nurga suuruse saab leida koosinusteoreemiga või valemiga.

Koosta ringjoone kanooniline võrrand, kui diameetriks on kolmnurga külg AC.

Vihje

Ringjoone keskpunkt on külje AC keskpunkt, mille koordinaadid on punktide A ja C koordinaatide aritmeetilised keskmised.

Koosta tipust A tõmmatud kõrguse võrrand.

Vihje

Tipust A tõmmatud kõrgus on risti küljega BC, mille tõus on arvutatud esimese punktis, selle abil saad leida kõrguse tõusu.

Vastused

Külje AB võrrand Külje AC võrrand Külje BC võrrand
Suurima nurga koosinus on
Ringjoone keskpunkt Ringjoone võrrand
Kõrguse võrrand

Lahendus

Külg AB. Koostame sirge võrrandi näiteks tõusu ja algordinaadi järgi. Tõusu leiame sihivektori abil\overrightarrow{AB}=\left(-3-4;\ 1-1\right)\overrightarrow{AB}=\left(-7;\ 0\right)k=\frac{0}{-7}=0Järelikult on sirge paralleelne x-teljega ja tema algordinaat on 1, sest nii punkti A kui ka B ordinaat on 1.Külje AB võrrand y = 1.
Külg AC koostame võrrandi tõusu ja algordinaadi järgi. Kuna punkt on C ordinaatteljel, siis on algordinaat –5. Tõusu saame sihivektori abil.\overrightarrow{AC}=\left(0-4;\ -5-1\right)\overrightarrow{AC}=\left(-4;\ -6\right)k=\frac{-6}{-4}=1,5Külje AC võrrand y = 1,5x – 5
Külje BC võrrandi võib koostada samuti tõusu ja algordinaadi järgi, ka siin on algordinaat –5.\overrightarrow{BC}=\left(0-\left(-3\right);\ -5-1\right)\overrightarrow{BC}=\left(3;\ -6\right)k=\frac{-6}{3}=-2Külje BC võrrand y = –2x – 5.
Vektori \vec{A}=\left(X;\ Y\right) pikkus \left|\vec{a}\right|=\sqrt{X^2+Y^2}AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{\left(-7\right)^2+0^2}==\sqrt{49}=7AC=\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-6\right)^2}==\sqrt{52}=2\sqrt{13}BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{3^2+\left(-6\right)^2}==\sqrt{45}=3\sqrt{5}
Suurim nurk on pikima külje vastas, järelikult on suurim ∠B. Selle nurga suuruse saab leida koosinusteoreemiga või valemiga\cos∠B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{BA}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BC}\right|},mida ka siin kasutame.Vektorite pikkused on meil juba arvutatud (kolmnurga külgede pikkused), on vaja leida nende skalaarkorrutis \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\left(7;\ 0\right)\cdot\left(3;\ -6\right). Vektorite koordinaadid leidsime juba ülesande esimeses osas.\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\left(7;\ 0\right)\cdot\left(3;\ -6\right)==7\cdot3+0\cdot\left(-6\right)=21\cos\left(∠B\right)=\frac{21}{7\cdot3\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}
Ringjoone AC keskpunkt on külje keskpunkt, mille koordinaadid on punktide A ja C koordinaatide aritmeetilised keskmised:K\left(\frac{4+0}{2};\frac{1-5}{2}\right)K(2; –2)R^2=\left(\frac{AC}{2}\right)^2R^2=\left(\frac{2\sqrt{13}}{2}\right)^2=13Ringjoone võrrand on (x – a)² + (y – b)² = R², kus keskpunkt K (a; b).(x – 2)² + (y + 2)² = 13
Tipust A tõmmatud kõrgus on risti küljega BC, mille tõusu arvutasime juba esimese punktis: k_BC = –2. Kuna ristuvate sirgete tõusude korrutis on –1, siis k_BC ⋅ k_h = –1 ja kõrguse tõus–2 ⋅ k_h = –1.k_h = 0,5Koostame sirge võrrandi tõusu ja punkti järgi.y – 1 = 0,5(x – 4)

Seotud sisu

Ülesanne 3

Tipp A asetseb sirge s: 3x + y – 1 = 0 ja y-telje lõikepunktis.Tipp B on sirge s ja sirge t: y = –7x + 13 lõikepunktis.Külge AC kirjeldab vektor \overrightarrow{AC}=\left(2;\ -2\right).

Leia kolmnurga tippude koordinaadid.
Leia kolmnurga ABC tippe läbiva parabooli y = ax² + bx + c kordajad a, b, c.

Vihje

1. Teisenda sirge s kujuley = kx + b2. Koosta ja lahenda võrrandisüsteem punkti B leidmiseks.3. Punkti C saad arvutada vektori koordinaatide abil.3. Asenda kolmnurga tippude koordinaadid parabooli võrrandisse ja lahenda saadud võrrandisüsteem.

Vastused

Lahendus

Sirge lõikab ordinaattelge punktis (0; b), kus b on algordinaat. Teisendame sirge s kujule y = kx + b:y = –3x + 1Järelikult A (0; 1).
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks lahendame võrrandisüsteem. $\{\begin{cases} y = - 3 x + 1 \\ y = - 7 x + 13 \end{cases}$
Lahendame võrrandisüsteem asenduvõttega.
–3x + 1 = –7x + 13
4x = 12
x = 3
y = –3 ⋅ 3 + 1 = –8
Järelikult B (3; –8).
Leiame vektori \overrightarrow{AC}=\left(2;\ -2\right) lõpppunkti , kui alguspunkt on A (0; 1).(x – 0; y – 1) = (2; –2)C (2; –1)
Asendame kolmnurga tippude koordinaadid parabooli võrrandisse ja lahendame saadud võrrandisüsteemi. $\{\begin{matrix} a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = 1 \Rightarrow c = 1 \\ a \cdot 3^{2} + b \cdot 3 + c = - 8 \\ a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c = - 1 \end{matrix}$
Vabaliikme c = 1 saime juba esimesest võrrandist, nii et lahendada tuleb kahe tundmatuga süsteem.
$\{\begin{cases} 9 a + 3 b + 1 = - 8 \\ 4 a + 2 b + 1 = - 1 \end{cases}$
Lineaarliikme kordaja b leiame ükskõik millisest selle süsteemi võrrandist.
2 ⋅ (–2) + b = –1 ⇒ b = –1 + 4 = 3
y = –2x² + 3x + 1

Seotud sisu

Riigieksami ülesandeid

Ringjoon keskpunktiga O (5; 3) läbib vektori \overrightarrow{OA}=\left(-3;4\right) lõpp-punkti A.

Leidke ringjoone diameetri AB otspunkti B koordinaadid.
Koostage selle ringjoone võrrand.
- r =
Arvutage ringjoone selle kaare pikkus, mis asub x-teljest allpool.
- kesknurk α ≈ °

Vastused

l ≈ ühikut

Ringjoon (x – 4)² + (y – 3)² = 25 läbib punkti O (0; 0) ning lõikab lisaks veel x-telge punktis A ja y-telge punktis B.

Arvutage punktide A ja B koordinaadid.
- Ruutvõrrand punkti A leidmiseks
- Ruutvõrrand punkti B leidmiseks
Põhjendage, et lõik AB on selle ringjoone diameeter.
Koostage ringjoonele punktis B joonestatud puutuja võrrand.
Joonestage koordinaat‑tasandile ringjoon ja selle puutuja punktis B.

Vastused

* ei kontrollita
Puutuja võrrand

Alamülesande 2 lahendus ja joonis

Kuna vektorid \overrightarrow{OB} ja \overrightarrow{OA} on risti, siis on nurk nende vahel 90 kraadi. 90-kraadine piirdenurk toetub ringi diameetrile, seega AB on selle ringi diameeter.

Punktid A (3; 0) ja B (7; 4) on rööpküliku tipud ja selle rööpküliku diagonaali AC kirjeldab vektor \overrightarrow{AC}=\left(2;\ 8\right).

Arvutage rööpküliku tippude C ja D koordinaadid ning tehke joonis.
Rööpkülikust ABCD lõigatakse välja võimalikult suur ring. Arvutage selle ringi täpne raadius.

Vastused

Ringi raadius on ühikut.

Punktid A (–5; –4) ja B (3; 2) on täisnurkse kolmnurga ABC hüpotenuusi tipud. Kaatet AC asub sirgel y = 2x + 6.

Koostage sirge BC võrrand ja arvutage punkti C koordinaadid.
Joonestage kolmnurk ABC koordinaatteljestikku.
x-telg jaotab kolmnurga ABC kaheks osaks. Leidke x-teljest allapoole jääva osa pindala.
- h = ühikut
- ühikut

Vastused

ruutühikut

Joonis

Rombi ABCD diagonaal AC asub sirgel y = 2x – 6. Rombi tipp A asub y-teljel ja \overrightarrow{AB}=\left(7;\ 4\right).

Koostage sirge võrrand, millel asub rombi teine diagonaal BD.
Arvutage rombi ABCD kõrgus ja pindala.

Vastused

Diagonaali võrrand on
Rombi kõrgus on
ühikut ja pindala
S = ruutühikut.

Võrdhaarse kolmnurga ABC üks tipp on punktis A (4; –3), teine tipp C asub sirgel y = 7 ja kolmnurga aluse AB määrab vektor \overrightarrow{AB}=\left(4;\ 8\right).

Arvutage punkti B koordinaadid.
Koostage sirge AB võrrand.
Ringjoone diameeter on kolmnurga ABC alus AB. Koostage selle ringjoone võrrand.
Arvutage punkti C koordinaadid.

Vastused

Sirge AB võrrand
Ringjoone võrrand

On antud punktid A (–2; 3) ja B (5; –4). Sirge BC on risti sirgega AB ja punkt C asub y-teljel.

Arvutage nurk BAC.
Koostage kolmnurga ABC tippe läbiva parabooli võrrand.

Vastused

(ümardatud kümnendikeni)
Parabooli võrrand

Sirge s\ :\ y=\frac{1}{2}x-1 lõikab x-telge punktis A. Sirge t läbib punkti A, on sirgega s risti ja lõikab y-telge punktis B. Sirge u läbib punkti B, on y-teljega risti ning lõikab sirget s punktis C.

Arvutage punktide A, B ja C koordinaadid ning koostage sirgete t ja u võrrandid.
Koostage kolmnurga ABC ümberringjoone võrrand.

Vastused

Punktide koordinaadid:
Ringjoone võrrand

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Harjutus­ülesanded. Vektor ja joon tasandil

Seotud sisu

Ülesanne 1

Vihje

Vastus

Lahendus

Seotud sisu

Ülesanne 2

Vihje

Vihje

Vihje

Vihje

Vastused

Lahendus

Seotud sisu

Ülesanne 3

Vihje

Vastused

Lahendus

Seotud sisu

Riigieksami ülesandeid

Vastused

Vastused

Alamülesande 2 lahendus ja joonis

Vastused

Vastused

Joonis

Vastused

Vastused

Vastused

Vastused

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Harjutusülesanded. Vektor ja joon tasandil