Harjutus­ülesanded. Jadad

1. Vähim arv on 16 ja suurim 93. Sellised arvud moodustavad aritmeetilise jada, mille vahe
   ​d = 7, esimene liige
   ​a₁ = 16 ja viimane liige
   ​a_n = 93.
2. Jada summa leidmiseks teeme kindlaks, mitu arvu jadas on. Selleks kasutame jada üldliikme valemit
   a_n = a₁ + (n –​ 1)d.
   Lahendame võrrandi:
   93 = 16 + (n​​ –​ 1) ⋅ 7
   ​93 = 16 + 7n​​ –​ 7
   n = 12​
   ​Jada kaheteistkümne liikme summa:
   S=\frac{16+93}{2}\cdot12=654​

1. Volli alamülesanne

1. Tegemist on aritmeetilise jadaga, mille kolme esimese liikme summa ja viies liige on 45. Jada üldliikme valemit kasutades saame võrrandisüsteemi:
   $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{a}_1+a_2+a_3=45\\ a_5=45\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{a}_1+a_1+d+a_1+2d=45\\ a_1+4d=45\end{array}\right. \end{gathered}$$
   
2. Lahendame võrrandisüsteemi, et leida jada esimene liige a₁ ja jada vahe d.
   ​$\left\{\begin{array}{l}3a_1+3d=45 \Rightarrow a_1+d=15\\ a_1+4d=45 \Rightarrow a_1=45-4d\end{array}\right.$
   ​45 – 4d + d = 15
   d = 10
   a₁ = 45 – 4 ⋅ 10 = 5​​
3. Mingi aja jooksul (siin kolmteist sekundit) läbitud tee on jada liikmete summa.
   a₁₃ = 5 + 12 ⋅​ 10 = 125
   ​S_{13}=\frac{5+125}{2}\cdot13=845 (meetrit)

2. Villu alamülesanne

1. Siin tuleb leida jada liikmete arv n, kui jada summa on antud. Avaldame jada viimase liikme ja asendame summa valemisse:
   a_n = 5 + (n​ – 1) ⋅​ 10 = 10n – 5
   \frac{5+10n-5}{2}\cdot n=2205
   5n² = 2205
   n² = 441
   ​​​n₁ = –21
   n₂ = 21​
   
2. Negatiivne vastus ei sobi ülesande tingimustega, seega avas Volli langevarju alles 21. sekundil.

1. Kuna igal järgmisel nädalal müüdi telefone 30% vähem kui eelneval, siis on ülesandes tegu geomeetrilise jadaga, kus q = 0,7 ja a₁ = 300. 
   ​Kuue nädalaga müüdud nutitelefonide arvu leiame geomeetrilise jada summa valemiga
   S_n=\frac{a_1\left(q^n-1\right)}{q-1}.​S=\frac{300\left(0,7^6-1\right)}{0,7-1}=882,351\approx882 (telefoni)
2. Nädalate arvu leiame summa valemi järgi, aga nüüd otsime astendajat n.
   ​\frac{300\left(0,7^n-1\right)}{0,7-1}=993
   ​Lahendame võrrandi:
   300(0,7ⁿ – 1) = –297,9
   0,7^n-1=-\frac{297,9}{300}
   0,7^n=-\frac{297,9}{300}+1
   ​0,7ⁿ = 0,007
   n=\frac{\log\left(0,007\right)}{\log\left(0,7\right)}
   ​​​​​n ≈ 14 (nädalat)

1. 1. Kuna pindalad on geomeetrilise jada liikmed, siis
      • a₂ = a₁q,
      • a₃ = a₁q², 
      • a₄ = a₁q³.
        
   2. Ülesande andmete järgi saame võrrandisüsteemi:
      $\left\{\begin{array}{l}{a}_1{q}^2+a_1{q}^3=\mathrm{11,25}\\ a_{1}q-a_1{q}^2=27\end{array}\right.$
      Lahenda süsteem, et leida jada esimene liige a₁ ja tegur q.​
   3. ​​Tegurdame võrrandi vasakud pooled ja kasutame jagamisvõtet:
      $\left\{\begin{array}{l}{a}_1{q}^2\left(1+q\right)=\mathrm{11,25}\\ a_{1}q\left(1-q\right)=27\end{array}\right.$
      ​$$\begin{gathered} \frac{\cancel{a_1}{q}^{\cancel{2}}\left(1+q\right)}{\cancel{a_1}\cancel{q}\left(1-q\right)}=\frac{\mathrm{11,25}}{27} \\ \frac{q\left(1+q\right)}{1-q}=\frac{5}{12} \end{gathered}$$
      ​Leia q.​​​
   4. q_1=-\frac{5}{3},\ q_2=\frac{1}{4}.
      ​Esimene lahend ei sobi ülesande tingimustega. Järelikult on jada tegur q=\frac{1}{4}.
   5. Leiame selle abil esimese liikme, näiteks süsteemi teisest võrrandist:
      a_1\cdot\frac{1}{4}-a_1\cdot\frac{1}{16}=27
      4a₁ – a₁ = 432
      ​​​​3a₁ = 432
      a₁ = 144​
2. Kuna tegemist on hääbuva jadaga, siis kõikide liikmete summa arvutatakse valemiga
   S=\frac{a_1}{1-q}.
   S=\frac{144}{1-\frac{1}{4}}=\frac{144}{\frac{3}{4}}=192​​