Harjutus­ülesanded. Funktsiooni uurimine

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

On antud funktsioon f (x) = x3 + 3x2 – 4x.

  1. Leia funktsiooni nullkohad.
  2. Leia funktsiooni positiivsuspiirkond.
  3. Leia funktsiooni negatiivsuspiirkond.
  4. Leia funktsiooni f (x) = x3 + 3x2 – 4x tuletis.
  5. Arvuta funktsiooni f (x) ekstreemumkohad kümnendiku täpsusega.
  6. Leia funktsiooni kasvamisvahemikud. Kasuta kirjutamisel tuletise nullkohtade ligikaudseid väärtusi.
  7. Leia funktsiooni f (x) = x3 + 3x2 – 4x teine tuletis.
  8. Määra teise tuletise abil leitud ekstreemumkohtade liik.
  9. Koosta funktsiooni f (x) = x3 + 3x2 – 4x graafikule puutuja võrrand kohal x0 = –2.
Vastused
  5.  (x1 < x2)


  9. Puutuja võrrand 
Lahendus
  1. Funktsiooni nullkohtadeks x0 nimetatakse funktsiooni graafiku ja x-telje lõikepunktide x-koordinaate. Selleks tuleb lahendada võrrand f (x0) = 0.
    ​Nullkohad märgitakse loogeliste sulgude vahele ja eraldatakse semikooloniga.
  2. Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks nimetatakse selliste argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni graafik asetseb ülalpool x-telge. Tuleb lahendada võrratus f (x) > 0.
  3. Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks nimetatakse selliste argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni graafik asetseb allpool x-telge. Negatiivsuspiirkonna leidmiseks tuleb lahendada võrratus f (x) < 0.
  4. f ′(x) = (x3)′ + (3x2)′ – (4x)′ =
    = 3x3–1 + 3 ⋅​ 2x2–1 – 4 ⋅ x1–1
    = 3x2 + 6x​ – 4
  5. Ekstreemumkohtade x1 ja x2 leidmiseks lahenda võrrand f ′(x) = 0.
    3​x2 + 6x – 4 = 0
    ​x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot3\cdot\left(-4\right)}}{2\cdot3}=
    =\frac{-6\pm\sqrt{84}}{6}
    x_1=\frac{-6-\sqrt{84}}{6}\approx-2,5
    ​​​x_2=\frac{-6+\sqrt{84}}{6}\approx0,5
  6. Kasvamisvahemike leidmiseks lahenda võrratus f ′(x) > 0.
  7. Funktsiooni teine tuletis on tuletisest leitud tuletis.
    ​f’′′(x) = (3x2 + 6x – 4)′
    = 3 ​⋅ 2x2–1 + 6 ​⋅ x1–1 = 6x + 6
  8. Funktsiooni maksimum­kohas on teise tuletise väärtus selles kohas negatiivne ja miinimum­kohas on teise tuletise väärtus selles kohas positiivne.
    f’′(–2,5) = 6 ​⋅ (–2,5) + 6 =
    ​= –9 < 0 ⇒ max
    f’′(0,5) = 6 ​⋅ 0,5 + 6 = 9 > 0 ⇒ min
  9. Koosta funktsiooni f (x) = x3 + 3x2 – 4x graafikule puutuja võrrand kohal x0 = –2.
    ​k = f ′(–2) =
    =​ 3 · (–2)2 + 6 · (–2) – 4 = –4
    ​y(–2) =
    = ​(–2)3 + 3 · (–2)2 – 4 · (–2) = 12
    y = –4(x ​– (–2)) + 12 = –4x + 4
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

Antud on funktsioon g\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-2x^2-12x+5.

Leia funktsiooni ekstreemumkohad ja määra nende liik.

Vastused


Lahendus
  1. Funktsiooni ekstreemumkohtade leidmiseks tuleb leida tuletis. Ekstreemumkohad võivad olla tuletise nullkohtades.
    ​g′(x) = x2 – 4x – 12
    x2 – 4x – 12 = 0
    x1 = –2
    x2 = 6
  2. ​​​​Seda, kumb on maksimum- ja kumb miinimumkoht, võid määrata teise tuletise abil.
    g′′(x) = 2x – 4
    ​g′′(–2) = 2 ⋅ (–2) – 4 = – 8 < 0
    ​g′′(6) = 2 ⋅ 6 – 4 = 8 > 0
    Järelikult on x1 = –2 maksimum- ja x2 = 6 miinimum­koht.​
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 3

  1. lim x → 3 x 2 - 2 x - 3 x - 3 =  
  2. lim x → ∞ x 4 + 5 x 2 x 2 - 3 x 4 = 
Lahendus
    1. Kui asendada funktsiooni valemisse x = 3, siis saame määramatuse \frac{0}{0}.
      ​Seega pole piirväärtust nii võimalik leida.
    2. Proovime funktsiooni avaldist teisendada ja selleks tegurdame lugeja.
      ​ x 2 - 2 x - 3 x - 3 = x + 1 x - 3 x - 3 = x + 1
      Leiame nüüd piirväärtus  lim x → 3 x + 1 .
    1. Asendame argumendi lõpmatusega. ∞ – ∞ ja \frac{∞}{∞} korral on tegemist määramatusega. Sellest vabanemiseks tuleb murru lugejas ja nimetajas sulu ette tuua muutuja x kõige kõrgem aste, mis on siin x4, ning murd taandada.
      lim x → ∞ x 4 + 5 x 2 x 2 - 3 x 4 = ∞ + ∞ ∞ - ∞ =
      = lim x → ∞ x 4 1 + 5 x 3 x 4 2 x 2 - 3
    2. Murrud \frac{5}{x^3} ja \frac{2}{x^2} lähenevad nullile, kui argument läheneb lõpmatusele.
      lim x → ∞ 1 + 5 x 3 2 x 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 0 0 - 3 = - 1 3 ​
Seotud sisu
Muud tegevused

Riigieksami ülesandeid

On antud funktsioon f (x) = (4 – x2)(2x + 1).

  1. Leidke funktsiooni f (x)
    1. positiivsuspiirkond;
    2. maksimumpunkti koordinaadid.
  2. Koostage funktsiooni f (x) graafiku puutuja võrrand kohal x0 = –1.
Vastused
  1. Funktsiooni

On antud funktsioon f\left(x\right)=x^2\left(2-\frac{1}{3}x\right).

  1. Leidke selle funktsiooni
    1. ekstreemumkohad ja määrake nende liik;
    2. kasvamis- ja kahanemisvahemikud.
  2. Funktsiooni f (x) graafikule on punkti P joonestatud puutuja, mille tõus on 4. Leidke punkti P koordinaadid.
Vastused
  1. Funktsiooni
    1. maksimumkoht on ja
      miinimumkoht on .


  2. Punkt 

Leidke funktsiooni f (x) = x3 (x2 + 2x)

  1. maksimumkoht;
  2. kahanemispiirkond;
  3. maksimaalne väärtus lõigul [–2; 1]
Vastused
  3. Maksimaalne väärtus antud lõigul on .

Sirge s läbib funktsiooni f (x) = 0,5x3 – 3x2 + 6 ekstreemumpunkte.

  1. Koostage sirge s võrrand.
  2. Sirgel s on funktsiooni f (x) graafikuga veel üks ühine punkt P. Leidke punkti P koordinaadid.
  3. Näidake, et punkt P on funktsiooni f (x) graafiku käänupunkt.
    • Käänupunkti tingimus 
Vastused
  3. f ''(2) = , järelikult P selle funktsiooni käänupunkt.

On antud funktsioonid f (x) = 2x – 4 ja g (x) = 2x–1.

  1. Lahendage võrrand f (x) = g (x).
  2. Joonestage koordinaat­teljestikku funktsioonide f (x) ja g (x) graafikud.
  3. Leidke reaalarvu m väärtus, mille korral funktsiooni h (x) = 2mx graafik läbib funktsioonide f (x) ja g (x) graafikute lõikepunkti A.
Vastused
  1. x = 
  1. Leidke funktsiooni f (x) = 2x2 ⋅ (x – 1) miinimum­punkti koordinaadid.
  2. Leidke funktsiooni g\left(x\right)=\frac{2x^2}{x-1} tuletis ja lahendage võrratus g′(x) > 0.
Vastused

On antud funktsioon f (x) = x2 (3 – x).

  1. Arvutage  lim x → - 2 f x
  2. Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik.
  3. Koostage funktsiooni f (x) graafikule tõmmatud puutujate võrrandid, kui mõlema puutuja tõus on –9.
Vastused
  1. lim x → - 2 x 2
  3. Puutujad
     (b1 < b2)
    ja

On antud funktsioon f (x) = –x3 + 3x2 +2.

  1. Leidke funktsiooni f (x) kasvamisvahemik.
  2. Leidke funktsiooni f (x) miinimum­punkti koordinaadid.
  3. Koostage funktsiooni f (x) graafikule kohal x0 = –1 joonestatud puutuja võrrand.
Vastused
  2. Miinimumpunkt on  
  3. Puutuja võrrand 

On antud funktsioon f\left(x\right)=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}x^3.

  • Arvutage selle funktsiooni ekstreemum­kohad ja leidke kasvamis­vahemikud.
  • Punkt A, mille abtsiss on x0 = 3, asub funktsiooni f (x) graafikul. Läbi punkti A on tõmmatud funktsiooni f (x) graafikule puutuja, mis lõikab funktsiooni f (x) graafikut punktis B. Koostage selle puutuja võrrand ja arvutage punkti B koordinaadid.
Vastused
  1. Ekstreemumkohad on
    xmin = ,
    xmax = 
    ja
    kasvamisvahemik 
  2. Puutuja võrrand

    ja 

On antud funktsiooni f\left(x\right)=\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2 graafik (vt joonist).

  1. Leidke funktsiooni f (x) null­kohad ja negatiivsus­piirkond.
  2. Arvutage funktsiooni f (x) maksimum­punkti koordinaadid.
  1. Funktsiooni f (x) graafiku puutuja kohal x0 = –2 on sirge y=2x+\frac{14}{3}.
    Koostage võrrand sirgele, mis on antud puutujaga paralleelne ning ka antud funktsiooni graafiku puutuja.
    • Ruutvõrrand 
Vastused
  1.  
  2.  
  3. Puutuja võrrand 
Seotud sisu
Muud tegevused