Harjutusülesanded. Tõenäosus ja statistika

Seotud sisu

Ülesanne 1

Ühes klassis on 30 õpilast ja tüdrukuid on 50% võrra rohkem kui poisse.

Sündmused:

Ühel päeval puudus ainult üks õpilane sellest klassist. Kui suur on tõenäosus, et puuduja ei olnud tüdruk?
Teisel päeval oli aga selles klassis kolm puudujat. Kui suur on tõenäosus, et kõik puudujad olid poisid?
Kui suur on tõenäosus, et teisel päeval olid kõik kolm puudujat samast soost?
Kui suur on tõenäosus, et teisel päeval kolmest puudujast olid kaks tüdrukud ja üks poiss.

Vastused

P(A) =
P(B) =
P(C) =
P(D) =

Lahendus

Et puuduja polnud tüdruk, siis järelikult oli ta poiss.Poiste arvu leidmiseks tuleb lahendada võrrand 1,5p + p = 30, p = 12. Klassikalise tõenäosuse reegli järgi tuleb soodsate (poiste arv) võimaluste arv jagada kõikide võimaluste arvuga (õpilaste arv).P\left(A\right)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}=0,4
Tõenäosus, et üks puuduja on poiss, on p_1=\frac{2}{5}.Et ka teine oleks poiss, tuleb ülejäänud poiste arv jagada õpilaste arvuga, millest on välja jäetud esimene poiss:p_2=\frac{11}{29}Nüüd leiame tõenäosuse, et ka kolmas on poiss. Pane tähele, et poiste ja õpilaste arv on nüüd kahe võrra väiksem!p_3=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}Selleks, et leida tõenäosust, et kõik puudujad on poisid, tuleb leitud tõenäosused korrutada.P\left(B\right)=\frac{2}{5}\cdot\frac{11}{29}\cdot\frac{5}{14}=\frac{11}{203}Sama tulemuseni oleksid jõudnud kombinatoorikat kasutades: $P (B) = \frac{C_{12}^{3}}{C_{30}^{3}} = \frac{11}{203}$
Kõik kolm on samast soost tähendab, et puudub kolm poissi või kolm tüdrukut.
P\left(\mathrm{poisid}\right)=\frac{11}{203}P\left(\mathrm{tüdrukud}\right)=\frac{18}{30}\cdot\frac{17}{29}\cdot\frac{16}{28}=\frac{204}{1015}Kuna need sündmused korraga toimuda ei saa, siis liidame leitud tõenäosused.P\left(C\right)=\frac{11}{203}+\frac{204}{1015}=\frac{259}{1015}=\frac{37}{145}Kombinatoorikat kasutades $P (C) = \frac{C_{12}^{3}}{C_{30}^{3}} + \frac{C_{18}^{3}}{C_{30}^{3}}$
$P (D) = \frac{C_{12}^{1} \cdot C_{18}^{2}}{C_{30}^{3}} = \frac{459}{1015}$

Seotud sisu

Ülesanne 2

Ühe matemaatika kontrolltöö eest võis saada maksimaalselt 12 punkti. Tulemused tööde parandamise järjekorras on:
10; 11; 8; 12; 7; 9; 10; 5; 11; 12; 12; 8; 9; 11; 7; 10; 8; 12; 5; 10; 3; 10; 7; 12; 9; 10; 7; 5; 10; 3

Moodusta hinnete sagedustabel ning leia variatsiooni ulatus.
Leia mood Mo, mediaan Me ja keskväärtus \overline{x}.Ligikaudsed vastused ümarda kümnendikeni.
Leia keskmine hälve kümnendiku täpsusega.
Leia standardhälve. Kasuta selleks punktis 2 leitud keskväärtust ja ümarda vastus sajandikeni.

Vastused

Punktid	Sagedus	Suhteline sagedus %
3
4
5
6
7

Punktid	Sagedus	Suhteline sagedus %
8
9
10
11
12
Kokku		100

Variatsiooni ulatus on .
Mo = Me = \overline{x} ≈
Keskmine hälve \overline{d} ≈
Tööde standardhälve δ ≈

Lahendus

Vaata sagedustabelit järgmisel slaidil.Variatsiooni ulatus on maksimaalse ja minimaalse elemendi vahe:12 – 3 = 9
Mood on kõige sagedamini esinev element. Siin on kõige rohkem kümnepunktilisi töid, mood on järelikultMo = 10.Mediaan on variatsioonirea keskmine element. Kuna siin on paarisarv elemente, siis on mood viieteistkümnenda ja kuueteistkümnenda elemendi aritmeetiline keskmine.Me=\frac{9+10}{2}=9,5Keskväärtus on sisuliselt aritmeetiline keskmine. Kokku on kõikide tööde punktide summa 263.\overline{x}=\frac{263}{30}\approx8,8

Kõigepealt tuleb leida kõikide elementide erinevus keskmisest ehk hälve. Seejärel leitakse nende hälvete absoluutväärtuste aritmeetiline keskmine, mis ongi keskmine hälve (vaata tabelit järgmisel slaidil. Keskmise hälbe arvutamise valem: $\bar{d} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} |x_{i} - \bar{x}|}{n}$
Hälvete summa on 64,2. Hälvete absoluutväärtuste aritmeetiline keskmine
\overline{d}=\frac{64,2}{30}\approx2,1See tähendab, et keskmiselt erineb üks töö tööde keskmisest punktisummas 2,1 punkti võrra.

Standardhälbe arvutamise valem: $δ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}{n}}$
Kui valimis on alla saja elemendi, siis jagatakse n asemel n - 1-ga.
$δ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}{n - 1}}$
\mathrm{\delta}=\sqrt{\frac{201,4}{30-1}}\approx2,64Tööde standardhälve on δ ≈ 2,64.

Sagedustabel

Punk-tid	Sagedus	Suhteline sagedus %	Hälve	Hälbe ruut
3	2	6,7	2 · 5,8	2 · 33,64
4	0	0	0 · 4,8	0 · 23,04
5	3	10	3 · 3,8	3 · 14,44
6	0	0	0 · 2,8	0 · 7,84
7	4	13,3	4 · 1,8	4 · 3,24
8	3	10	3 · 0,8	3 · 0,64
9	3	10	3 · 0,2	3 · 0,04
10	7	23.3	7 · 1,2	7 · 1,44
11	3	10	3 · 2,2	3 · 4,84
12	5	16,6	5 · 3,2	5 · 10,24
Kokku	30	100	64,2	201,4

Seotud sisu

Riigieksami ülesandeid

Rehvitöökojas on müügil 12 kasutatud talverehvi, mis sobivad kliendi autole. Nendest rehvidest ühel on mustrisügavus 5 mm, kolmel 6 mm, kuuel 7 mm ja kahel 8 mm.

Arvutage nende 12 sobiva talverehvi mustrisügavuste aritmeetiline keskmine.
- \overline{x} =
Mitmel viisil saab klient valida sobivate rehvide hulgast 4 ühesuguse mustrisügavusega rehvi?
- viisil
Arvutage tõenäosus, et 4 rehvi juhuslikult valimisel nende 12 sobiva rehvi hulgast saab klient kõik niisugused rehvid, mille mustrisügavused on arvutatud aritmeetilisest keskmisest suuremad.
- p ≈

Ühes urnis on 2 valget, 3 punast ja 5 sinist kuuli ning teises urnis on 4 valget ja 8 sinist kuuli. Kummastki urnist võetakse juhuslikult üks kuul.Kui suur on tõenäosus, et

võetud kaks kuuli on punast värvi;
- p =
võetud kaks kuuli on sinist värvi;
- p =
võetud kuulidest on üks valge ja üks sinine?
- p =

Sõbrad Kati ja Mart mängivad noolemängu. Kati tabab märklaua südamikku tõenäosusega \frac{5}{6} ja Mart tõenäosusega \frac{6}{7}.

Kui suur on tõenäosus, et
1. nii Kati kui ka Mart tabavad esimese viskega märklaua südamikku?
  - p =
2. vähemalt üks sõpradest tabab esimese viskega märklaua südamikku?
  - p =
Mõlemad sõbrad teevad 5 viset. Põhjendage arvutustega, kas suurem on tõenäosus, et
1. Kati tabab märklaua südamikku täpselt 3 korral
  - p = või
2. Mart tabab märklaua südamikku täpselt neljal korral?
  - p =
  - Suurem on tõenäosus, ettabab märklaua südamikku korral.

Riina lahendas valikvastustega testi, milles oli kolm ülesannet. Igal ülesandel oli neli vastusevarianti, millest ainult üks oli õige. Riina valis kõikide ülesannete vastused juhuslikult.Kui suur on tõenäosus, et

kõik valitud vastused olid valed;
- p =
vähemalt kaks valitud vastustest olid õiged?
- p =

Laual on kuus väliselt ühesugust kaarti, igal kaardil üks arv.

1

$-2$

$3^{-4}$

$\sqrt{5}$

$6^{7}$

$- \frac{1}{8}$

Kaardid pööratakse ringi, segatakse ja võetakse juhuslikult kaks kaarti.

Kui suur on tõenäosus, et:

mõlemal kaardil on täisarv;
- p =
vähemalt ühel kaardil on negatiivne arv?
- p =

Suveniiripoes müüakse ühesugustesse karpidesse pakitud siniseid ja punaseid kruuse. Igas karbis on üks kruus. Riiulil oli 10 sinise kruusiga karpi ja 14 punase kruusiga karpi.

Kui suur on tõenäosus sellelt riiulilt nelja juhusliku karbi võtmisel saada

üks sinine ja kolm punast kruusi?
- p = (ümardatud tuhandikeni)
vähemalt kolm punast kruusi?
- p = (ümardatud tuhandikeni)

Ajakirjas oli ristsõna, mille õigesti lahendajad osalesid nelja ühesuguse auhinna loosimises. Oma lahenduse saatis 250 erinevat inimest. 94% lahendustest olid valed.

Mitme lahendaja hulgast loositi 4 auhinnasaajat?
- Neli auhinnasaajat loositi välja lahendaja seast.
Mitmel erineval viisil võis õigesti lahendanute vahel jagada neli auhinda?
- erineval viisil.
Kui suur oli tõenäosus õige lahenduse korral auhinnast ilma jääda?
- p =

Laulukonkursi eelvoorus osales 216 laulu. Neist 12,5% valis žürii lõppvooru. Väljavalitud lauludest \frac{5}{9} olid inglise keeles ja ülejäänud eesti keeles.

Oletame, et kõikidel lõppvooru pääsenud lauludel on võrdsed võimalused konkurss võita.

Mitu laulu pääses lõppvooru?
- laulu
Mitu eestikeelset ja mitu ingliskeelset laulu pääses lõppvooru?
- Lõppvooru pääses eestikeelset ja ingliskeelset laulu.
Kui suur on tõenäosus, et lõppvooru pääsenud lauludest
1. võidab konkursi eestikeelne laul?
  - p =
2. on kõik esikolmiku laulud ingliskeelsed?
  - p =
3. on esikolmikus vähemalt kaks eestikeelset laulu?
  - p =

Osteti pakk Kreeka pähkleid. Tõenäosus, et pakist võetakse tuumata (seest tühi) pähkel, on maaletooja väitel 0,05.

Kui suur on tõenäosus, et pakist juhuslikult võetud

viiest pähklist on täpselt 2 pähklit tühjad;
- p ≈
kümnest pähklist on vähemalt 1 pähkel tühi?
- p ≈

Poes on müügil melonid kolmest riigist − Hispaaniast, Kreekast ja Marokost. Melonid ei erine väliselt, küll aga erinevad maitse poolest. Müügisaali letil on viis Marokos, seitse Hispaanias, ja kolm Kreekas kasvatatud melonit.

Leidke tõenäosus, et:

üks juhuslikult valitud melon on kasvatatud Kreekas;
- p =
üks juhuslikult kasvatatud melon ei ole pärit Marokost;
- p =
kaks juhuslikult valitud melonit on mõlemad kasvatatud Hispaanias.
- p =

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Harjutus­ülesanded. Tõenäosus ja statistika

Seotud sisu

Ülesanne 1

Vastused

Lahendus

Seotud sisu

Ülesanne 2

Vastused

Lahendus

Sagedustabel

Seotud sisu

Riigieksami ülesandeid

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Harjutusülesanded. Tõenäosus ja statistika