Курс „Интеграл. Плоские фигуры”
Новые математические понятия обычно возникают на базе решения каких-либо конкретных практических задач. Так, например, к понятию производной приводят такие задачи, как нахождение мгновенной скорости движения тела и касательной к кривой. Исторически интегрирование возникло, прежде всего, на основе задачи нахождения площади фигуры, а затем и задач, в которых требовалось найти длину пути, пройденного телом за определенное время при условии, что известна мгновенная скорость его движения в каждый момент времени.
Рассмотрим задачу нахождения площади плоской фигуры. На рисунке 1.6 изображено Чудское озеро (без Псковского озера). Площадь озера (и вообще площадь какой-либо плоской фигуры, ограниченной некоторыми линиями) можно найти приближенно следующим образом. Карту озера чертят на бумаге в клетку, либо на эту карту накладывают прозрачную пленку с нанесенным клетчатым разбиением. Затем подсчитывают, сколько целых и сколько нецелых клеток помещается внутри фигуры. Приближенное значение площади получается путем сложения числа целых клеток с половиной числа нецелых клеток. Ясно, что чем мельче будет клеточное разбиение, тем более точное значение площади мы получим (сравните рис. 1.6, а) и б)).
*Пользуясь снабженной масштабом картой Эстонии и наложенной прозрачной пленкой с клеточным разбиением, найдите таким способом площадь Чудского озера и выясните, на сколько отличается полученный результат от действительной площади озера.
Точный результат можно было бы получить, если бы мы умели вычислять также площади нецелых клеток. Выясним теперь, как вычислить площади тех частей квадратов, которые не заполняют целую клетку. Все такие меньшие фигуры могут быть разбиты на еще более мелкие части, которые представляют собой так называемые криволинейные трапеции – фигуры, сходные с прямоугольной трапецией, у которой бóльшая боковая сторона является некоторой кривой линией (рис. 1.7, а).
Криволинейной трапецией называется фигура, получающаяся при замене большей боковой стороны прямоугольной трапеции такой кривой, которая может быть графиком некоторой функции (рис. 1.7, б).
Частными случаями криволинейной трапеции считаются также фигуры, изображенные на рисунке 1.8, у которых одно или даже оба основания обращаются в точку или равны между собой.
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции у = 2х + 1, а снизу – осью Ох (рис. 1.9). Зафиксируем одно из оснований трапеции на прямой х = 1, перпендикулярной оси абсцисс. Второе основание проведем через некоторую точку х оси абсцисс (x ≥ 1). Если изменять положение второго основания трапеции, то будет изменяться и площадь трапеции. Поэтому площадь такой трапеции зависит от выбора х, иначе говоря, является функцией от переменной х. Обозначим эту переменную площадь S(x).
 Рис. 1.9 | ||||||
Выразим площадь рассматриваемой трапеции с помощью известной формулы площади трапеции:
Меньшее основание трапеции имеет длину 2 · 1 + 1 = 3 (это значение функции в точке х = 1), а большее основание равно 2x + 1 (значению функции в точке х). Высотой трапеции является ее боковая сторона, расположенная на оси Ох, и длина ее равна x – 1.
Следовательно, площадь трапеции
Найдем производную полученной функции S(x) и получим S'(x) = 2x + 1.
Как мы видим, полученная производная равна функции, график которой ограничивает сверху криволинейную трапецию, т. е.
S'(x) = f (x).
Вычислим по формуле
