Нахождение неопределенного интеграла

Курс „Интеграл. Плоские фигуры”

Мы познакомились со следующими формулами интегрирования.

∫xadx=xa+1a + 1+C, a ≠ –1

∫dx=x+C

∫xdx=x22+C

∫exdx=ex+C

∫dxx=ln|x|+C

∫af(x)dx=a∫f(x)dx

∫[fx+gx]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

∫[fx-gx]dx=∫f(x)dx-∫g(x)dx

Будем пользоваться этими формулами при решении задач.

Пример 1.

  1. \int 3x^{-4}dx = 3\int x^{-4}dx = 3\cdot\frac{x^{-4+1}}{-4+1}+C = \frac{3x^{-3}}{-3}+C = -x^{-3}+C;
  1. \int \left(5x^4-x\right)dx = \frac{5x^{4+1}}{4+1}-\frac{x^{1+1}}{1+1}+C = x^5+\frac{x^2}{2}+C;
  1. \int \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x^3}}{x}dx = \int \frac{\sqrt{x}}{x}dx-\frac{\sqrt{x^3}}{x}dx = \int x^{\frac{1}{2}-1}dx-\int x^{\frac{3}{2}-1}dx = \int x^{-\frac{1}{2}}dx-\int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}-\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}-\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C = 2\sqrt{x}-\frac{2x\sqrt{x}}{3}+C;
  2. \int \left(x-3\right)^2dx = \int \left(x^2-6x+9\right)dx = \frac{x^3}{3}+3x^2+9x+C.

Пример 2.

Стиральная машина, в которой было 12 л воды, начала откачивать эту воду. При откачивании отделившиеся от белья пушинки и другие мелкие частицы скапливаются у конца сливной трубы, в результате чего скорость откачивания все время снижается. Скорость опорожнения машины (литров в секунду) через t секунд выражается формулой v(t) = 3 − 0,6t.

  1. Найдем, через сколько секунд опорожнение закончится.
    Это случится тогда, когда скорость течения в трубе станет равной 0. Из уравнения 3 − 0,6t = 0 получим, что t = 5. Следовательно, откачка воды из стиральной машины закончится через 5 секунд.
  2. Найдем формулу, описывающую количество K(t) воды, оставшейся в стиральной машине через t секунд после начала откачивания. Как мы знаем, v(t) есть скорость опорожнения стиральной машины, другими словами, производная от функции, описывающей количество вытекшей воды. Следовательно, количество воды, вытекшей за t секунд, можно найти так:
    ​\int v\left(t\right)dt = \int \left(3-0,6t\right)dt = 3t-\frac{0,6t^2}{2}+C = 3t-0,3t^2+C.
    ​В начале откачивания, т. е. при t = 0, вытекло 0 литров и потому 3 ⋅ 0 − 0,3 ⋅ 0 + C = 0, откуда​ C = 0.

Таким образом, количество воды, оставшейся в машине по истечении t секунд (t ≤ 5), есть K (t) = 12 − (3t − 0,3t2) =12 − 3t + 0,3t2. Отсюда можно найти, к примеру, что через 2 секунды в машине останется 12 − 3 ⋅ 2 + 0,3 ⋅ 4 = 7,2 литра воды.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

\int 6xdx = 

\int 2x^3dx = 

\int \left(x+1\right)\left(x-1\right)dx = 

\int \left(4x^{-5}+x^{-2}\right)dx = 

\int x^2\left(3-x\right)dx = 

\int \left(x-2\right)\left(x+3\right)dx = 

\int \left(x^3x^5+x^{-2}x^2\right)dx = 

\int \left(t-1\right)\left(t^3+1\right)dt = 

\int \left(u+2\right)\left(u^2-2u\right)du = 

\int \left(5x^{-2}-3x^{-3}\right)dx = 

\int \frac{x^2-9}{x+3}dx = 

\int \frac{x^2-1}{5x+5}dx = 

\int e^{x+2}dx = 

\int e^2x^{-3}dx = 

\int \left(\frac{6}{t}+t^2\right)dt = 

Ответ: F(x) = 

Ответ: F(x) = 

Ответ: F (0) = 

  1. F\left(0\right)=4?
    Ответ: F (x) = 
  2. F\left(1\right)=2?
    Ответ: F (x) = 

Ответ: искомая функция есть f (x) = .

Ответ: F(x) = 

Рис. 1.5

Ответ: f '(x) =  и  f (x) = 

\int x^2\sqrt{x}dx = 

\int \left(x-2\sqrt{x}\right)^2dx = 

\int \left(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}\right)dx = 

\int \frac{1+x^2}{x^5}dx = 

\int \frac{\left(x-2\right)^2}{2x}dx = 

\int \frac{\left(2x-5\right)^2}{x^2}dx = 

Ответ: V (t) = 

Ответ: истечение газа из шара прекратилось через  секунд(ы). За все время опустошения из шара вытекло  литров газа.

Seotud sisu
Muud tegevused