Вычисление определенного интеграла

Курс „Интеграл. Плоские фигуры”

В предыдущем параграфе мы ввели понятие определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

\int_a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right), где F\ '\left(x\right)=f\left(x\right).

Познакомимся теперь с некоторыми свойствами интеграла, которые позволяют упростить его вычисление.

СВОЙСТВО 1. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т. е.

∫abc·f(x)dx=c∫abf(x)dx.

Доказательство

Пусть F – первообразная для функции f. Так как (c ⋅ F (x))' = c ⋅ F '(x) = c ⋅ f (x), то функция с ⋅ F есть первообразная для функции с ⋅ f. Поэтому

\int_a^bc\cdot f\left(x\right)dx = c\cdot F\left(b\right)-c\cdot F\left(a\right) = c\cdot\left[F\left(b\right)-F\left(a\right)\right] = c\int_a^bf\left(x\right)dx. ♦

СВОЙСТВО 2. Интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов слагаемых, т. е.

∫ab[fx+gx]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx.

Следствие. \int_a^b\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int_a^bf\left(x\right)dx-\int_a^bg\left(x\right)dx.

СВОЙСТВО 3*. Если поменять местами пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:

∫abf(x)dx=-∫baf(x)dx.

Доказательство

\int_a^bf\left(x\right)dx = F\left(b\right)−F\left(a\right) = -\left[F\left(a\right)-F\left(b\right)\right] = -\int_b^af\left(x\right)dx. ♦

СВОЙСТВО 4. Для любых точек а, b и с выполнено равенство ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx, если данные интегралы существуют.

Доказательство

\int_a^cf\left(x\right)dx+\int_c^bf\left(x\right)dx = F\left(c\right)-F\left(a\right)+F\left(b\right)-F\left(c\right) = F\left(b\right)−F\left(a\right) = \int_a^bf\left(x\right)dx. ♦

Рис. 1.16

Геометрически свойство 4 иллюстрируется рисунком 1.16 (для случая a < c < b).

Пример 1.

  1. \int_1^24x^2dx = 4\int_1^2x^2dx = 4·x33 1 2 = 4\cdot\left(\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}\right) = 4\cdot\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right) = 4\cdot\frac{7}{3} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}.
  2. \int_0^1-2e^xdx = -2\int_0^1e^xdx = -2ex 0 1 = -2e^1+2e^0 = -2e+2.
  3. \int_1^2\left(1+x\right)^2dx-\int_1^2\left(1-x\right)^2dx = \int_1^2\left[\left(1+x\right)^2-\left(1-x\right)^2\right]dx = \int_1^2\left(1+2x+x^2-1+2x-x^2\right)dx = \int_1^24xdx = 2x2 1 2 = 8-2 = 6.

Пример 2.

\int_{-1}^2\left(6+4x\right)dx = 6x-4x22-1 2 = 6x-2x2-1 2 = 12+8-\left(-6+2\right) = 24.

Изобразите соответствующую криволинейную трапецию на чертеже. Проверьте справедливость полученного результата с помощью формулы площади обычной трапеции.

Пример 3.

\int_1^2\left(2-x^2\right)dx = 2x-x33 1 2 = \left(4-\frac{8}{3}\right)-\left(2-\frac{1}{3}\right) = 2-\frac{7}{3} = -\frac{1}{3}.

Вычисленное значение определенного интеграла отрицательно и его нельзя истолковать как площадь криволинейной трапеции. На рисунке 1.17 видно, что рассматриваемая фигура состоит из двух криволинейных трапеций, одна из которых расположена выше, а другая – ниже оси абсцис. На отрезке \left[\sqrt{2};\ 2\right] функция f(x) не удовлетворяет использованному ранее соотношению f (x) ≥ 0.

Интеграл \int_1^2\left(2-x^2\right)dx является разностью площадей изображенных на рисунке криволинейных трапеций.

Рис. 1.17

С нахождением площадей криволинейных трапеций, расположенных ниже оси Ох или по обе стороны от этой оси, мы познакомимся в параграфе 1.8.

Пример 4.

\int_{-1}^2\left(4-x^2\right)dx = 4x-x33-2 2 = \left(8-\frac{8}{3}\right)-\left[-8-\left(-\frac{8}{3}\right)\right] = \left(8-\frac{8}{3}\right)+\left(8-\frac{8}{3}\right) = 2\left(8-\frac{8}{3}\right) = 2\cdot\frac{16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}.

Исследуйте свойства графика функции у = 4 – х2 на рисунке 1.18 и найдите другой (более простой) способ вычисления этого интеграла.

Рис. 1.18

Пример 5.

Поезд движется с постоянным ускорением 1,0 м/с2. Через 1 секунду после начала наблюдения скорость поезда стала равной 1,5 м/c. Найдем формулу, выражающую зависимость v = v(t) cкорости v от момента времени t. Сколько метров прошел поезд за первые 3 секунды?

Решение. Так как ускорение равно производной от скорости движения тела, то v '(t) = 1,0, откуда v (t) = 1,0t + C. Постоянную С найдем из условия v (1) = 1,5. Получим: 1,0 · 1 + C = 1,5, т. е. C = 0,5. Поэтому скорость движения выражается формулой v (t) = 1,0t + 0,5. Поскольку скорость есть производная от длины пути: v(t) = s′(t), то длина пути s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\frac{t^2}{2}+0,5t+C. Отсюда s\left(0\right)=\frac{0}{2}+0+C и s\left(3\right)=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}+C=6+C. Поэтому за первые 3 секунды поезд пройдет расстояние s\left(3\right)-s\left(0\right)=6+C-C=6. 

Заметим, что в силу формулы Ньютона-Лейбница s\left(3\right)-s\left(0\right)=\int_0^3v\left(t\right)dt, и потому длину пути можно вычислить и с помощью определенного интеграла: s\left(t\right)=\int_0^3\left(t+0,5\right)dt = t22+0,5t 0 3 = 6.

Ответ: скорость поезда в момент времени t есть v(t) = 1,0t + 0,5; за 3 первые секунды поезд пройдет 6 метров.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

\int_{-2}^1\left(x-2x^3\right)dx = 

\int_{-1}^2\left(1-2x\right)^2dx = 

\int_1^2\left(1+x\right)\left(2-3x\right)dx = 

\int_2^3\left(2x^3-5\right)dx = 

\int_2^3\left(3x-1\right)dx = 

\int_1^34x^{-2}dx = 

\int_1^2x^2dx+\int_2^4x^2dx = 

\int_0^1e^{t+2}dx = 

\int_1^e\frac{4x^2+1}{x}dx = 

\int_0^1\frac{x^2-4}{x+2}dx = 

\int_{-2}^0\frac{2t+3t^2}{3t}dt = 

\int_{-1}^1\frac{\left(3x^2-2x\right)^2}{x^2}dx = 

  1. В каком отношении кривая y = x3 разбивает площадь единичного квадрата (рис. 1.19)?
Рис. 1.19

Ответ: S_1\ :\ S_2 = 

  1. В каком отношении разбивает площадь единичного квадрата кривая y = x4?
    Ответ: S_1\ :\ S_2 = 
  2. Найдите отношение S1 : S2, если единичный квадрат разбивает линия у = хn, где n ∈ N, n > 0.
    Ответ: S_1\ :\ S_2 = 

Скорость вертолета v (м/с) выражается формулой v (t) = 12 + 15t2 (t – время в секундах). Какое расстояние пролетит вертолет с момента t = 1,5 до момента t = 2,5?

Ответ: в этом промежутке времени вертолет пролетит  м.

Скорость v (м/с) движения автомобиля в промежутке времени 0 ≤ t ≤ 20 выражается законом v (t) = 3,75t – 0,075t2 (t – время в секундах). Сколько метров проедет автомобиль за первые 10 секунд?

Ответ: за первые 10 секунд автомобиль проедет  м.

Рис. 1.20
  • Запишите закон движения тела.
  • Сколько метров пройдет тело в промежуток времени от t1 = 2 до t2 = 7?
    Ответ: в этот промежуток времени тело пройдет  м.
Seotud sisu
Muud tegevused