Вычисление площади с помощью определенного интеграла

Курс „Интеграл. Плоские фигуры”

До сих пор мы вычисляли с помощью определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, соответствующей неотрицательной функции, т. е. трапеции, расположенной выше оси абсцисс.

Например, площадь криволинейной трапеции на рисунке 1.21 вычисляем: S\left(x\right)=\int_a^bf\left(x\right)dx.

Рис. 1.21

Например, площадь криволинейной трапеции на рисунке 1.21 вычисляем:

1. Криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс.

Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция у = f(x) < 0. График этой функции на данном отрезке расположен ниже оси Ох.

Умножив обе части неравенства f (x) < 0 на –1, получим неравенство –f (x) > 0. Значит, значения новой функции y = –f (x) положительны. Мы также знаем, что графики функций y = f (x) и y = –f (x) симметричны друг другу относительно оси абсцисс. Поэтому ясно, что площади криволинейных трапеций на рисунке 1.22 равны между собой.

Рис. 1.22

Следовательно, \int_a^b\left[-f\left(x\right)\right]dx=S, где S – площадь криволинейной трапеции, соответствующей функции у = −f(x) (рис. 1.22).

В силу свойства определенного интеграла получаем, что S=\int_a^b\left[-f\left(x\right)\right]dx=-\int_a^bf\left(x\right)dx. Значит, в данном случае площадь вычисляется по формуле S=-\int_a^bf\left(x\right)dx. Другими словами, \int_a^bf\left(x\right)dx=-S. 

Итак, интеграл от отрицательной на отрезке [a; b] функции равен числу, противоположному площади криволинейной трапеции, соответствующей этой функции.

Таким образом, для нахождения площади криволинейной трапеции, расположенной ниже оси Ох, есть следующие возможности:

  1. найдем -\int_a^bf\left(x\right)dx или же
  2. найдем \int_a^b\left[-f\left(x\right)\right]dx или же
  3. найдем модуль полученного интеграла (являющегося отрицательным числом), т. е. найдем \left|\int_a^bf\left(x\right)dx\right| или же
  4. сделаем перемену пределов интегрирования и вычислим \int_b^af\left(x\right)dx.

Пример 1.

Найдем площадь криволинейной трапеции, закрашенной на рисунке 1.23. Так как криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох, то S=\int_a^b\left[-f\left(x\right)\right]dx. Получим:

S = \int_0^2\left[-\left(-x^2+4x-4\right)\right]dx = \int_0^2\left(x^2-4x+4\right)dx = x33-4x22+4x 0 2 = \frac{8}{3}-8+8 = \frac{8}{3} или

S = \left|\int_0^2\left(-x^2+4x-4\right)dx\right| = -x33+4x22-4x 0 2 = \left|-\frac{8}{3}+8-8\right| = \left|-\frac{8}{3}\right| = \frac{8}{3}.

Рис. 1.23

Ответ: площадь криволинейной трапеции составляет \frac{8}{3} единиц площади.

2. Фигура составлена из нескольких криволинейных трапеций.

Рис. 1.24

Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = f(x) и осью Ох на отрезке [a; b]. Если непрерывная функция f имеет нули внутри данного отрезка, то фигура состоит из нескольких криволинейных трапеций (рис. 1.24). В этом случае искомую площадь находят, вычисляя площадь каждой такой части отдельно:

S = \int_a^{x_1}f\left(x\right)dx+\left|\int_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)dx\right|+\int_{x_2}^bf\left(x\right)dx = \int_a^{x_1}f\left(x\right)dx-\int_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)dx+\int_{x_2}^bf\left(x\right)dx.

Пример 2.

Найдем площадь фигуры, ограниченной линией y = x3 – x и осью абсцисс. Сначала сделаем чертеж. Для этого нужно найти нули функции. Найдем их из уравнения x3 – x = 0, т. е. х(х + 1)(х – 1) = 0 и получим: x1 = –1, x2 = 0, x3 = 1.

Рис. 1.25

На рисунке 1.25 видно, что интересующая нас фигура состоит из двух частей. Получим:

S = \int_{-1}^0\left(x^3-x\right)dx+\left(-\int_0^1\left(x^3-x\right)dx\right) = x44-x22-1 0-x44-x22 0 1 = \frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.

Ответ: площадь фигуры составляет 0,5 единицы площади.

Как можно упростить вычисление данной площади? Ответ обоснуйте.

3.* Фигура ограничена графиками двух функций.

Рис. 1.26

Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками двух непрерывных функций у = f(x) и у = g(x), где f(x) ≥ g(x) на отрезке [a; b] (рис. 1.26). В этом случае искомая площадь равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций:

S=\int_a^bf\left(x\right)dx-\int_a^bg\left(x\right)dx, или
​S=\int_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx.

Эта формула становится понятной, если заштриховать на рисунке 1.26 криволинейные трапеции, соответствующие графикам функций у = f(x) и у = g(x).

Рис. 1.27

Полученная формула верна не только для положительных функций, лишь бы только выполнялось неравенство f(x) ≥ g(x). Пусть, например, графики функций f и g расположены так, как показано на рисунке 1.27. Тогда

S = \int_a^cf\left(x\right)dx+\left[-\int_a^cg\left(x\right)dx\right]+\int_c^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx = \int_a^c\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx+\int_c^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx = \int_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx.

Пример 3.

Найдем площадь закрашенной фигуры на рисунке 1.28. Прежде всего найдем нижний предел интегрирования – абсциссу точки пересечения линий у = х2 и y=\frac{1}{x^2}. Для этого решим систему уравнений

y=x2y=1x2, откуда x^2=\frac{1}{x^2}, или \frac{x^4-1}{x^2}=0.

Следовательно, x4 – 1 = 0 (значение дроби равно нулю, если ее числитель равен нулю).

Тогда x4 = 1 и x = 1 или x = –1.

Очевидно, что искомым нижним пределом является a = 1. Теперь вычислим площадь фигуры:

S = \int_1^2\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)dx = x33+1x 1 2 = \frac{8}{3}+\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{3}+1\right) = \frac{7}{3}-\frac{1}{2} = \frac{11}{6}.

Рис. 1.28

Ответ: площадь фигуры составляет \frac{11}{6} единиц площади.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

Рис. 1.29 1)

Ответ: S = 

Рис. 1.29 2)

Ответ: S = 

Рис. 1.29 3)

Ответ: S = 

Рис. 1.29 4)

Ответ: S = 

Рис. 1.29 5)

Ответ: S = 

Рис. 1.30 1)

Ответ: S = 

Рис. 1.30 2)

Ответ: S = 

Рис. 1.30 3)

Ответ: S = 

Рис. 1.30 4)

Ответ: S = 

Рис. 1.30 5)

Ответ: S = 

Рис. 1.30 6)

Ответ: S = 

y=x, x=2, x=4

Ответ: S = 

y=2x, x=0, x=3

Ответ: S = 

y=x^2, x=1, x=3

Ответ: S = 

y=x^2, x=-3, x=-1

Ответ: S = 

y=x^3, x=1, x=3

Ответ: S = 

y=x^4, x=-1, x=0

Ответ: S = 

y=3x-x^2,\ \ у=\ 0

Ответ: S = 

y=x(4-x),\ \ у\ =\ 0

Ответ: S = 

y=3-x^2, x=-1, x=0

Ответ: S = 

y=3x-x^2, x=1, x=2,5

Ответ: S = 

Рис. 1.31

Ответ: S = 

Рис. 1.32

Ответ: S = 

Ответ: S = 

y=x^2+x-6

Ответ: S = 

y=-x^2+1

Ответ: S = 

y=2x^2+x

Ответ: S = 

y=3e^x, x=0, x=2

Ответ: S = 

Ответ: S = 

y=x^3-4x

Ответ: S = 

y=\frac{1+x}{x^3}, x=\frac{1}{3}, x=\frac{1}{2}

Ответ: S = 

Начертите в одной системе координат графики функций f\left(x\right)=\frac{3-x}{x} и g\left(x\right)=2x^2. Найдите площадь фигуры, ограниченной этими графиками и прямой y = 0.

Ответ: S = 

  1. Сделайте чертеж и найдите площадь S фигуры, ограниченной этой параболой и осью абсцисс.
    Ответ: уравнение этой параболы есть y =  и S =  ед. площади.
  2. Начертите также треугольник АВС и найдите его площадь.
    Ответ: площадь треугольника ABC равна  ед. площади.
  3. На сколько процентов площадь треугольника меньше площади S фигуры, ограниченной параболой и осью Ох?
    Ответ: площадь треугольника на % меньше площади S фигуры, ограниченной параболой и осью Ох.

Ответ: дверь занимает % площади стенки.

Ответ: для изготовления обеих торцовых стен ангара требуется  м2 жести.

Seotud sisu
Muud tegevused