Окружность. Круг и треугольник

Курс „Интеграл. Плоские фигуры”

Рис. 1.47

OK – радиус
KM – хорда
AB – диаметр
α – вписанный угол, опирающийся на дугу KL
β – центральный угол, опирающийся на дугу KL
p – касательная, проведенная через точку M

C=2\pi r

S=\pi r^2

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

Ответ: этот угол равен °.

Рис. 1.48

Ответ: начиная с наибольшей фигуры: C1 =  см, S1 =  см2; P2 =  см, S2 =  cм2; C3 =  cм, S3 =  cм2; P4 =  cм, S4 =  cм2.

Какие еще вопросы и задачи можно сформулировать на основании этого рисунка? Составьте их и решите с помощью компьютера.

Говорят, что вписанный угол (∠АСВ на рисунке 1.49) опирается на дугу АВ, если эта дуга расположена между сторонами угла.

Рис. 1.49

Рис. 1.49
  1. Как связаны между собой величина центрального угла и величина вписанного угла, опирающихся на одну и ту же дугу?
  1. Пусть вписанный угол опирается на диаметр. Какова величина соответствующего центрального угла?
    Ответ: этот центральный угол равен °.
  2. Какова величина вписанного угла, опирающегося на диаметр?
    Ответ: этот вписанный угол равен °.

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины расположены на окружности.

Рис. 1.50
  1. Начертите вписанный в окружность четырехугольник и найдите суммы его противоположных углов (рис. 1.50).
  2. Обоснуйте полученный результат, пользуясь свойством вписанного и центрального углов, опирающихся на одну и ту же дугу. Сформулируйте результат в виде теоремы.
  3. Можно доказать, что справедлива также и обратная теорема. Сформулируйте ее.

Подведем итоги наиболее важных результатов, полученных в заданиях 119 – 121.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 1.51).

Центральный угол в два раза больше опирающегося на ту же дугу вписанного угла (рис. 1.51).

Вписаннный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом (рис. 1.51).

У вписанного в окружность четырехугольника сумма противоположных углов является развернутым углом (рис. 1.50, α + γ = β + δ = 180°).

Если в четырехугольнике сумма противоположных углов является развернутым углом, то для этого четырехугольника существует описанная около него окружность.

Рис. 1.51
Рис. 1.52

Рис. 1.53
  1. Почему получившиеся на чертеже треугольники подобны?
  1. Запишите равные отношения соответственных сторон треугольников.
  2. Выразите из полученных равенств произведение длин отрезков AK и KB, расположенных на одной хорде, через отрезки CK и DK другой хорды. Сформулируйте полученный результат.
    Произведение: 
Рис. 1.54
  1. Обоснуйте, что треугольники DBK и ACK подобны и запишите равные отношения соответственных сторон.
  2. Выразите произведение отрезков KА и KВ через отрезки KC и KD.
    Ответ: 
  3. Пусть точки C и D приближаются друг к другу вдоль окружности, пока не совпадут в точке Р. В какую важную для окружности линию превращается в этом случае прямая KР?
    Ответ: в этом случае прмая KC является к окружности.
    Какой вид примет теперь формула, полученная в предыдущем подпункте?
    Ответ: 

Подведем итоги наиболее важных результатов, полученных в заданиях 123–125.

Точка пересечения двух хорд окружности разбивает эти хорды на части, произведение длин которых на одной хорде равно произведению длин соответствующих отрезков другой хорды. В краткой формулировке: произведения отрезков пересекающихся хорд равны, т. е. KA · KB = KC · KD (рис. 1.53).

Если из одной точки вне круга проведены к окружности две секущие, то на каждой секущей возникают два отрезка, одним из концов которых является данная точка, а другими концами – точки пересечения секущей и окружности. При этом произведение длин отрезков одной секущей равно произведению длин отрезков другой секущей: KA · KB = KC · KD (рис. 1.54).

Пусть из точки вне круга проведены к окружности касательная и секущая. Тогда квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению отрезков секущей, одним из концов которых является данная точка, а другими концами – точки пересечения секущей и окружности. В краткой формулировке: квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, т. е. KP2 = KB · KA (рис. 1.54).

Ответ: отрезки первой хорды равны  см и  см.

Ответ: длины отрезков второй секущей равны  см и  см.

Ответ: расстоние от точки A до центра окружности равно  м.

  • Придумайте какую-нибудь задачу из повседневной жизни, которую можно решить по этим данным.

Рис. 1.54

Ответ: KA =  см; AB =  см.

Серединным перепендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла, который делит этот угол пополам.

  1. Отметьте на серединном перепендикуляре к отрезку AB произвольно выбранную точку С и соедините ее отрезками с концами отрезка АВ. Найдите длины отрезков AC и BC. Что Вы подметили? Останется ли этот результат прежним, если начать передвигать точку С вдоль серединного перпендикуляра? Сформулируйте найденное свойство.
  2. С помощью какого признака равенства треугольников можно доказать это свойство?
  1. Начертите треугольник ABC и все серединные перепендикуляры к его сторонам. Отметьте на одном из перпендикуляров точку K и найдите расстояния от этой точки до вершин треугольника.
  2. Сдвигая точку K по серединному перпендикуляру, найдите точку, которая равноудалена от всех трех вершин треугольника. Объясните, почему эти расстояния равны.
  3. В какой точке расположен центр окружности, описанной около треугольника?
  4. Выясните, как связаны углы остроугольного треугольника с углами между серединными перпендикулярами к его сторонам.
  1. Начертите два луча с общей вершиной A и биссектрису угла между ними. Отметьте на биссектрисе точку B и проведите из этой точки перпендикулярные отрезки BC и BD к сторонам угла (сначала перпендикулярные сторонам прямые, затем нужные отрезки). Найдите длины этих отрезков. Что Вы заметили? Сформулируйте полученное свойство.
  2. С помощью какого признака равенства треугольников можно доказать это свойство?
  1. Начертите треугольник ABC и биссектрисы углов A и B.
  2. Отметьте на одной из биссектрисе точку D и проведите перпендикулярные к сторонам отрезки, длины которых равны расстояниям от данной точки до сторон треугольника.
    Чтобы сделать чертеж менее перегруженным, нужно скрыть часть несущественных деталей (в данном случае – перпендикуляры).
  3. Передвигая точку D вдоль биссектрисы, найдите точку, равноудаленную от всех сторон треугольника. Обоснуйте результат.
  4. В какой точке расположен центр окружности, вписанной в треугольник?
  1. Выясните, для треугольников какого вида центр описанной окружности находится: 1) внутри треугольника; 2) на стороне треугольника; 3) вне треугольника.
  2. Как связаны между собой диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, и гипотенуза этого треугольника?

Подведем итоги наиболее важных результатов, полученных в заданиях 130–134.

Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от концов отрезка.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от всех вершин треугольника.

Центр окружности, описанной около треугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Все точки биссектрисы угла равноудалены от обеих сторон угла.

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от всех сторон треугольника.

Центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в точке пересечения биссектрис треугольника.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, расположен в середине гипотенузы.

Рис. 1.55

Рис. 1.56

r=a + b - c2

Ответ: радиус описанной окружности равен  см, а радиус вписанной окружности –  cм.

Ответ: радиус окружности равен  см.

  1. на свойство внешнего угла треугольника.
  2. на соотношение между вписанным и соответствующим центральным углом.
Рис. 1.57

Некоторые формулы площади треугольника:

S=pr, где r – радиус вписанной окружности и p – половина периметра треугольника;

S=\frac{abc}{4R}, где а, b и с – стороны треугольника, R – радиус описанной окружности;

S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}, где а, b и с – стороны треугольника, р – полупериметр.

Ответ: длина вписанной окружности равна  см.

Рис. 1.58
  1. Найдите площадь треугольника, а также радиусы его вписанной и описанной окружностей.
    Ответ: S = , r = , R = .
  1. Сколько процентов площади (длины окружности) большего круга составляет площадь (длина окружности) меньшего круга?
    Ответ: площадь меньшего круга составляет % площади большего круга, а длина меньшей окружности –  % длины большей окружности.
  2. Какие еще вопросы и задачи можно составить по данному рисунку? Составьте и решите их.

Ответ: площадь этого треугольника равна cм2, а наименьшая высота –  см.

Ответ: P =  см.

Seotud sisu
Muud tegevused