Курс „Интеграл. Плоские фигуры”
Подведем в разделах этой главы итоги наших знаний о плоских фигурах. Нам известны понятия различных многоугольников, а также круга и окружности. Многоугольники мы классифицировали следующими способами:
- треугольники, четырехугольники и т. д.;
- правильные многоугольники и многоугольники, не являющиеся правильными;
- выпуклые и невыпуклые многоугольники.
Правильным называется такой многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Все остальные многоугольники не являются правильными.
Выпуклым называется многоугольник, все диагонали которого расположены внутри многоугольника. Остальные многоугольники являются невыпуклыми.
В качестве различных видов треугольников мы рассматривали:
- остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники;
- разносторонние и равнобедренные треугольники, а также
- частный случай равнобедренного треугольника – равносторонний треугольник.
Упражнения
- тупым?
- острым?
- прямым?
- равнобедренным?
- разносторонним?
- равносторонним?
Наибольший Число равных углов | Острый | Прямой | Тупой |
0 | |||
2 | |||
3 |
Наибольший Число равных сторон | Острый | Прямой | Тупой |
0 | |||
2 | |||
3 |
 Рис. 1.34 | ||||||
 Рис. 1.35 | ||||||
 Рис. 1.36 | ||||||
- Найдите на рисунке равные углы. Почему эти углы равны?
- Как связана величина внешнего угла треугольника с величинами не смежных с ним внутренних углов?
- Чему равна сумма внутренних углов треугольника?Ответ: сумма внутренних углов треугольника равна °.
Равенство треугольников
Два треугольника называются равными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника и стороны треугольников, противолежащие равным углам, равны между собой.
Упражнения
 Рис. 1.37 | ||||||
- На какие треугольники разбивает прямоугольник его диагональ?
- По какому признаку эти треугольники равны?
- Как выражается площадь прямоугольного треугольника через его катеты?
Ответ: S =
 Рис. 1.38 | ||||||
Подобие треугольников
При решении геометрических задач мы часто пользовались подобием многоугольников. Напомним, что
отрезки a1; b1; c1; … называются пропорциональными соответственно отрезкам a2; b2; c2; …, если , где k – коэффициент пропорциональности.
Два многоугольника называются подобными, если их соответственные стороны пропорциональны, а соответственные углы равны.
Упражнения
Обобщенная теорема Фалеса: параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (рис. 1.39).
 Рис. 1.39 | ||||||
- Какие из образовавшихся треугольников подобны и почему?
- Найдите отрезки, отношение которых равно отношению
\frac{AE}{AC} , и запишите соответствующие равенства. - Пользуясь соотношениями AE = AC + CE и AD = AB + BD, найдите, чему равно отношение
\frac{CE}{BD} .
Найдите длину этого отрезка, если AB = 28 м, BD = 14 м и AC = 20 м.
Ответ: CE = м.
- Как будет изменяться длина Вашей тени, если Вы будете приближаться к светильнику; удаляться от светильника?
- Вычислите длину своей тени по своему росту и расстояниям от светильника до Вас и до стены.
Ответ: вторая сторона треугольника равна см.
Ответ: высота меньшего треугольника равна см, а основание – см.
Ответ: периметр большего из образовавшихся треугольников равен м.
Прямоугольный треугольник
 Рис. 1.41 | ||||||
- Сколько прямоугольных треугольников на рисунке?
- Найдите на рисунке углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Какие из углов на рисунке равны между собой?
- Пользуясь результатами предыдущего подпункта, найдите на рисунке все пары подобных треугольников.
- Начертите приведенные ниже таблицы и запишите в них соответственные (противолежащие равным углам) стороны подобных треугольников.
Угол | ΔABC | ΔDBC | ||
90° | ||||
α |
Угол | ΔABC | ΔADC | ||
90° | ||||
β |
Угол | ΔADC | ΔDBC | ||
β | ||||
α |
- Какие пропорции получаются из этих таблиц? Выразите из этих пропорций a2, b2 и h2.
c2 = a2 + b2
a2 = fc
b2 = gc
h2 = fg
ab = hc
Упражнения
Ответ: расстояние от верхнего конца лестницы до поверхности земли равно м.
 Рис. 1.42 | ||||||
Ответ: гирька отклонится от положения равновесия на см.
Ответ: длина высоты, проведенной к боковой стороне, равна см.
Указание
Ответ: катеты равны соответственно
Ответ: расстояние от гребня крыши до потолка равно м.
Ответ: проведенная к гипотенузе высота равна см.
Ответ: проведенна к гипотенузе высота равна см.
Ответ: гипотенуза равна см, а второй катет – см.
 Рис. 1.43 | ||||||
- К какому виду принадлежит четырехугольник A1B1C1D1? Почему?
- Найдите на компьютере площади полученного четырехугольника и исходного квадрата. Для этого эти фигуры нужно построить с помощью инструмента Многоугольник. Площадь фигуры будет видна на панели объектов или же в меню Площадь. Как связаны между собой полученные площади?
- Выразите площади квадрата и четырехугольника A1B1C1D1 через сторону a исходного квадрата. Найдите отношение этих площадей.
Ответ: SABCD = , SA1B1C1D1 = . Их отношение равно . - Изучите аналогичную проблему (какая фигура образуется и как относятся площади фигур) в случае, когда исходной фигурой является прямоугольник.
Линейные элементы треугольника
Кроме сторон треугольника мы знаем и другие важнейшие линейные элементы треугольника – это его высота, средняя линия, биссектриса и медиана.
Высотой треугольника называется отрезок, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне или к ее продолжению перпендикулярно этой стороне.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Биссектриса треугольника – это отрезок, проведенный из вершины угла треугольника к противолежащей стороне, который делит этот угол пополам.
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Упражнения
- Что можно сказать о пересечении прямых, содержащих высоты треугольника?
- Для треугольников какого вида все высоты треугольника расположены внутри треугольника? Для каких треугольников две высоты расположены вне треугольника и для каких – на сторонах треугольника? Для получения ответа изменяйте форму треугольника и следите за величиной его наибольшего угла.
- Исследуйте расположение средних линий относительно соответствующих оснований треугольника и сравните длину средней линии с длиной такого основания. При исследовании можно воспользоваться инструментом Отношение объектов.
- Сформулируйте свойства средней линии треугольника.
- На сколько равных треугольников разбивают треугольник его средние линии? Почему? Как связаны площадь (периметр) каждого из этих треугольников с площадью (периметром) исходного треугольника?
- Проверьте результаты предыдущего подпункта на компьютере. Периметр находится с помощью инструмента Расстояние или длина.
 Рис. 1.44 | ||||||
- Начертите отрезок EF. Чем является этот отрезок в треугольнике ABC? Почему?
- По какому признаку подобия будут подобны треугольники EFM и ABM? Чему равен коэффициент подобия этих треугольников? Почему?
- В каком отношении находятся отрезки BM и FM?
- Сформулируйте свойство точки пересечения медиан треугольника.
- Сравните между собой основания двух меньших полученных треугольников, а также их высоты.
- Что можно сказать о площадях этих меньших треугольников? Почему?
- Какую аналогию можно подметить между понятием медианы треугольника и изученным в курсе статистики понятием медианы вариационного ряда?
- Сколько различных треугольников получилось на чертеже?
- Постройте все меньшие треугольники с помощью инструмента Многоугольник и найдите их площади. Что можно подметить?
- Для каких еще треугольников на чертеже равенство их площадей следует из выводов предыдущего подпункта?
Подведем итоги результатов, полученных при решении заданий 94 – 100.
Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Такое же свойство выполнено для случая медиан и биссектрис треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине основания.
Средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.
Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану на части в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
Медианы, проведенные ко всем сторонам треугольника, разбивают его на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса треугольника разбивает противолежащую сторону на части, отношение которых равно отношению прилежащих сторон угла (рис. 1.45).
 Рис. 1.45 | ||||||
Ответ: периметр треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, равен см.
Ответ: медианы равны см, см и см.
 Рис. 1.46 | ||||||
- В каком отношении разбивает этот отрезок диагональ квадрата?
Ответ: в отношении . - Как относятся площади S1, S2 и S3 треугольников на рисунке?
Ответ: эти площади относятся как .
Указание
- Вершина прямоугольника соединена отрезком с серединой одной из противолежащих сторон. В каком отношении этот отрезок разбивает диагональ прямоугольника? В каком отношении находятся площади полученных треугольников (начиная с меньшего)?
- Вершина параллелограмма соединена отрезком с серединой одной из противолежащих сторон. В каком отношении этот отрезок разбивает диагональ параллелограмма? В каком отношении находятся площади полученных треугольников (начиная с меньшего)?
- Вершина трапеции соединена отрезком с серединой одной из противолежащих сторон. В каком отношении этот отрезок разбивает диагональ трапеции? В каком отношении находятся площади полученных треугольников (начиная с меньшего)?
Для многоугольников с какими свойствами справедливы подмеченные соотношения?
Ответ: на отрезки длиной см и см.
Ответ: третья сторона равна см.
- Выразите квадраты катетов через их проекции на гипотенузу и саму гипотенузу, а также найдите отношение f : g проекций катетов.
- Чему равно произведение проекций катетов?
- Вычислите длины проекций катетов.
Ответ: длины проекций катетов равны см и см.
Ответ: стороны параллелограмма равны см и см.
Ответ: боковая сторона равна см или же см.
Ответ: P = см.
