Четырехугольник

Курс „Интеграл. Плоские фигуры”

Изученные до сих пор четырехугольники мы классифицировали в зависимости от того, сколько у них пар параллельных сторон.

Выпуклый четырехугольник, не имеющий параллельных сторон, называется трапецоидом.

Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны, называется трапецией.

Четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны, называется параллелограммом.

Seotud sisu

Трапеция и ее свойства

Трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной трапецией.

Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобедренной трапецией.

У равнобедренной трапеции имеется описанная около нее окружность. Другие трапеции не имеют описанной окружности.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° (рис. 1.64).

Рис. 1.64

$k = \frac{a + b}{2}$ ; $S = k \cdot h = \frac{h (a + b)}{2}$

Seotud sisu

Упражнения

Рис. 1.65

Ответ: d = м.

Ответ: P = cм; S = cм²

Ответ: S = cм²

Seotud sisu

Параллелограмм и его свойства

Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны.Сумма углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равна 180°.Диагонали параллелограмма делятся пополам в точке их пересечения.Параллелограмм с равными сторонами называется ромбом.Параллелограмм с равными углами, прилежащими к стороне, является прямоугольником.Ромб, прямоугольник и квадрат – это частные случаи параллелограмма, следовательно, они обладают всеми свойствами параллелограмма (рис. 1.66).

Рис. 1.66

Параллелограмм, отличный от ромба и прямоугольникаAB = DC; AD = BCAO = OC; BO = ODα + β = 180°S = ah = ab sin α

Параллелограмм с равными сторонами, или ромбd_1\ \perp\ d_2

S=\frac{d_1d_2}{2}

S=ah

Параллелограмм с равными углами, или прямоугольникα = 90°S = ab

Параллелограмм с равными сторонами и углами, или квадратS=a^2

Seotud sisu

Упражнения

Прилежащие углыСмежные стороны	равны	различны
равны
различны

Какие свойства добавятся к ним, если рассмотреть

прямоугольник?
квадрат?

Ответ: сторона квадрата равна cм.

Рис. 1.67

Опираясь на формулу площади треугольника, выведите формулу, выражающую площадь параллелограмма через его сторону и проведенную к этой стороне высоту (рис. 1.67).

Рис. 1.67

Ответ: P = cм.

Ответ: S = cм²

С помощью формулы площади треугольника S=\frac{ah}{2}, выведите формулу, выражающую площaдь ромба через его диагонали (рис. 1.68).

Рис. 1.68

S = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}

Ответ: h = дм.

Ответ: S = cм²

Найдите:

углы между диагональю и сторонами прямоугольника.
Ответ: эти углы равны ° и °.
соотношение между большей стороной а и меньшей стороной b прямоугольника.
Ответ: a =
стороны прямоугольника с точностью до сотых.
Ответ: a = см и b = см.

Какого вида четырехугольник получился? Почему?
Ответ: получился , так как
Исследуйте зависимость периметра этого четырехугольника от длины боковой стороны а (инструмент Расстояние или длина). Обоснуйте полученное соотношение.
Ответ: P = , так как

Начертите в координатной сетке квадрат и соедините последовательно отрезками середины его сторон. Какая фигура получилась? Каково отношение площадей полученной фигуры и исходной фигуры? Обоснуйте свой ответ.
Исследуйте ту же проблему, если исходной фигурой является прямоугольник, а также отличный от прямоугольника и ромба параллелограмм. Для этого сдвигайте подходящим образом вершины исходного квадрата. Обоснуйте свои гипотезы, польуясь свойствами средней линии треугольника.
Указание. Соедините отрезками середины сторон исходной фигуры и проведите ее диагонали.
Каким условиям должны удовлетворять диагонали исходной фигуры, чтобы при описанном выше построении получался отличный от квадрата параллелограмм? Квадрат? Отличный от квадрата ромб? Параллелограмм, не являющийся ни прямоугольником, ни ромбом?

Seotud sisu