Неопределенный интеграл. Формулы интегрирования

Курс „Интеграл. Плоские фигуры”

В предыдущем параграфе мы убедились, что операцией, обратной дифференцированию функции, является нахождение первообразной. Эта обратная операция называется интегрированием.

Общее выражение F (x) + C всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f. Постоянная С есть произвольная постоянная (или постоянная интегрирования).

Неопределенный интеграл обозначается символом \int f(x)dx (читается: интеграл эф от икс дэ икс).

Значит, неопределенный интеграл функции f определяется так:

$\int f (x) d x = F (x) + C$ , где F '(x) = f (x).

Символ ∫ называется знаком интеграла, переменная х – переменной интегрирования, выражение f(x)dx – подынтегральным выражением, функция f – подынтегральной функцией, а выражения ∫ f (x)dx и F (x) + C – неопределенным интегралом от функции f. Символ dx обозначает дифференциал аргумента х, причем dx = Δx, где Δx – приращение аргумента.

Пример.

\int 2xdx=x^2+C, так как \left(x^2\right)^'=2x;\int 0dx=C, так как C′=0;\int e^xdx=e^x+C, так как \left(e^x\right)^'=e^x.

Нам известны формулы производных основных элементарных функций, имеющие вид F '(x) = f (x). Далее для каждой такой формулы мы получим соответствующую формулу интегрирования \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C.

Seotud sisu

Интегрирование степенной функции

Мы знаем, что производная степенной функции y = x^a, где а – действительное число, выражается в виде (x^a)' = ax^a-1. При дифференцировании степенной функции показатель степени (число а) уменьшается на единицу.Следовательно, при интегрировании степенной функции должно происходить обратное – показатель степени увеличивается на единицу. Легко убедиться в том, что\int 1dx=\int x^0dx=x+C, \int xdx=\frac{x^2}{2}+C, \int x^2dx=\frac{x^3}{3}+C.Эти примеры позволяют предположить, что \int x^adx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C, за исключением случая, когда a = –1.Проверим это равенство в соответствии с понятием неопределенного интеграла:\left(\frac{x^{a+1}}{a+1}\right)^'=\frac{\left(a+1\right)x^a}{a+1}=x^a.Поэтому

$\int x^{a} d x = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C$ , если a ≠ 1.

Если a = –1, то x^a=x^{-1}=\frac{1}{x}. При x > 0 выполнено равенство \left(\ln x\right)^'=\frac{1}{x} и поэтому \int \frac{1}{x}dx=\ln x+C. Можно показать, что при x < 0 выполнено равенство \int \frac{1}{x}dx=\ln\left|x\right|+C, следовательно, можно записать, что

$\int \frac{d x}{x} = ln | x | + C$ ,

поскольку по определению модуля числа $|x| = \{\begin{cases} x, если x \geq 0 \\ - x, если x < 0 \end{cases}$ .

Seotud sisu

Интегрирование показательной функции e^x

Мы знаем, что \left(e^x\right)^'=e^x, следовательно,

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ .

Seotud sisu

Интегрирование суммы и разности функций

Пусть существуют неопределенные интегралы \int f\left(x\right)dx и \int g\left(x\right)dx. Выясним, как выражается интеграл от суммы функций, т. е. \int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx.

* В нашем случае(1) \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C_1 и(2) \int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)+C_2, где F\ '\left(x\right)=f\left(x\right) и G\ '\left(x\right)=g\left(x\right).Образуем новую функцию H(x)=F(x)+G(x) и найдем ее производную:H\ '\left(x\right) = \left[F\left(x\right)+G\left(x\right)\right]^' = F\ '\left(x\right)+G\ '\left(x\right) = f\left(x\right)+g\left(x\right).В соответствии с понятием неопределенного интеграла получим\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C. (3)С другой стороны, складывая равенства (1) и (2), получим, что\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C_1+C_2. (4)Сумма C₁ + C₂ двух произвольных постоянных есть произвольная постоянная, которую можно обозначить через С. Тогда из равенств (3) и (4) получим, что

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

Итак, при интегрировании суммы можно проинтегрировать каждое слагаемое в отдельности.

Аналогичное свойство выполнено для случая интеграла разности функций f(x) – g(x), т. е.

$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ .

Seotud sisu

Вынесение постоянного множителя из-под знака интеграла

* Пусть известен неопределенный интеграл \int f\left(x\right)dx. Выясним, как выразить интеграл \int af\left(x\right)dx, где а – постоянный множитель. Как мы знаем, \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C, где F\ '\left(x\right)=f\left(x\right). Составим выражение a\left[F\left(x\right)+C\right]=aF\left(x\right)+aC и обозначим произвольную постоянную aC=C_1.Тогда выражение a\left[F\left(x\right)+C\right]=aF\left(x\right)+C_1 будет неопределенным интегралом для функции у = аf(x), так как\left(aF\left(x\right)\right)^'=aF\ '\left(x\right)=af\left(x\right).Поэтому\int af\left(x\right)dx = aF\left(x\right)+C_1 = aF\left(x\right)+aC = a\left[F\left(x\right)+C\right] = a\int f\left(x\right)dx. *

Значит, справедлива формула

$\int a f (x) d x = a \int f (x) d x$ .

Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла.

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Неопределенный интеграл. Формулы интегрирования

Курс „Интеграл. Плоские фигуры”

Seotud sisu

Интегрирование степенной функции

Seotud sisu

Интегрирование показательной функции ex

Seotud sisu

Интегрирование суммы и разности функций

Seotud sisu

Вынесение постоянного множителя из-под знака интеграла

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Интегрирование показательной функции e^x