Курс „Стереометрия”
При описании взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве будем исходить из количества их общих точек.
- Если прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки, то прямая параллельна плоскости (
s\ \parallel\ \mathrm{\alpha} , рис. 2.14). - Если прямая и плоскость имеют единственную общую точку, то прямая пересекает плоскость (
t\cap\mathrm{\alpha}=\left\{A\right\} , рис. 2.14). - Если прямая и плоскость имеют больше одной общей точки, то прямая лежит в плоскости (
u\subset\mathrm{\alpha} , рис. 2.14).
 Рис. 2.14 | ||||||
Следующая теорема позволяет выяснить, параллельна ли некоторая прямая данной плоскости.
ТЕОРЕМА. Если прямая s, не лежащая в плоскости α, параллельна некоторой прямой t, лежащей в этой плоскости, то прямая s параллельна плоскости α (признак параллельности прямой и плоскости) (рис. 2.15).
 Рис. 2.15 | ||||||
Как и в случае двух прямых, для прямой и плоскости можно говорить об угле между ними. Важным частным случаем является перпендикулярность прямой и плоскости.
Прямая s называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, расположенной в этой плоскости.
Перпендикулярность прямой и плоскости записывают в виде
Ясно, что практически невозможно проверить перпендикулярность данной прямой к любой прямой данной плоскости. Поэтому перпендикулярность прямой и плоскости устанавливают с помощью признака перпендикулярности прямой и плоскости. Оказывается, что
если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Через точку А, не лежащую в данной плоскости, можно провести в точности одну нормаль к этой плоскости (рис. 2.16, а).
 Рис. 2.16 | ||||||
Обозначим через А′ точку пересечения этой нормали с плоскостью α. В этом случае точку А′ называют проекцией точки А на плоскость α, а длину отрезка АА′ – расстоянием от точки А до плоскости α. Если некоторая прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от плоскости. В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью (рис. 2.16, б). Проекцией отрезка АВ на плоскость называется отрезок А′В′, концами которого являются проекции на эту плоскость точек А и В (рис. 2.16, в).
Аналогично, проекция прямой АВ на плоскости есть прямая, проходящая через проекции точек А и В, т. е. прямая А′В′.
Упражнения
Какие из прямых, заданных вершинами призмы,
 Рис. 2.17 | ||||||
- параллельны основанию?
- пересекают основание?
- перпендикулярны к основанию?
Какие из прямых, заданных вершинами призмы, расположены в плоскости грани АВ ... F?
Рис. 2.17 | ||||||
Какие из прямых, заданных вершинами призмы, перпендикулярны к боковому ребру AG?
Рис. 2.17 | ||||||
Какие из прямых, заданных вершинами призмы, перпендикулярны к грани AВHG?
Рис. 2.17 | ||||||
Начертите четыре нормали к боковой грани ABHG.
- Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
- Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то и другая прямая параллельна этой плоскости.
- Две прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
- Две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой.
 Рис. 2.18 | ||||||
Найдите длину отрезка CD, если:
- AB = 3 см, BC = 7 см и AD = 1,5 см.
Ответ: CD = см. - BD = 9 см, BC = 16 см и AD = 5 см.
Ответ: CD = см. - BD = c, BC = a и AD = d.
Ответ: CD =
Ответ: длина кабеля должна быть не менее м.
- Многоугольник какого вида определяют концы данного отрезка и их проекции на плоскости?
- Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, если расстояния от точек А и В до плоскости соответственно равны:
- 3,2 см и 5,3 см.
Ответ: расстояние от середины отрезка до плоскости равно см. - 7,4 см и 6,1 см.
Ответ: расстояние от середины отрезка до плоскости равно см. - a и b.
Ответ: расстояние от середины отрезка до плоскости равно .
- 3,2 см и 5,3 см.
 Рис. 2.19 | ||||||
Ответ: расстояние от точки C до плоскости равно см.
Каким еще может быть расположение точек В и С, отличное от изображенного на рисунке 2.19? Сделайте соответствующий чертеж и решите задачу, опираясь на новый чертеж.
Ответ: гребень палатки расположен на высоте м от земли.
 Рис. 2.20 | ||||||
- Каким ребрам боковой грани ABB1A1 перпендикулярна высота h основания призмы?
- Каково расположение высоты h относительно боковой грани ABB1A1? Почему?
- Найдите расстояние от ребра CC1 до грани ABB1A1?
Ответ: расстояние от ребра CC1 до грани ABB1A1 равно длине отрезка. - Треугольник какого вида является основанием призмы?
Ответ: основанием призмы является треугольник. - Найдите расстояния между остальными боковыми ребрами и противолежащими им гранями этой призмы.
Ответ: расстояния между остальными боковыми ребрами и противолежащими им гранями этой призмы равны м, м и м.
Ответ: длины проекций этих отрезков равны см и см.
Ответ: длины этих ребер равны см и см.
Ответ: длины этих ребер равны см и см.
Ответ: высота пирамиды равна см.
Ответ: длины боковых ребер пирамиды равны см.
 Рис. 2.22 | ||||||
Из результатов заданий 242–245 мы заключаем, что:
если боковые ребра треугольной пирамиды равны между собой, то высота пирамиды соединяет вершину пирамиды с центром окружности, описанной около основания;
если боковые ребра пирамиды с прямоугольным основанием равны между собой, то высота пирамиды соединяет вершину пирамиды с точкой пересечения диагоналей основания.
