Расстояние между двумя точками в пространстве

Курс „Стереометрия”

Вспомним, что на координатной плоскости расстояние между точками A(x1; y1) и B(x2; y2) вычисляется по формуле d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}. 

В случае пространства расстояние между двумя точками вычисляется по аналогичной формуле, которая лишь чуть длиннее.

Выведем формулу для вычисления расстояния между точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2).

Рассмотрим сначала случай, когда отрезок AB не параллелен оси Оz (рис. 2.44). Проведем из точек A и B отрезки, параллельные оси Оz до пересечения с плоскостью Оxy. Пусть точками пересечения этих отрезков с плоскостью Оxу будут соответственно A1 и B1. Первые две координаты этих точек совпадают с соответствующими координатами точек A и B, а третья координата равна нулю. Проведем через точку A плоскость, параллельную плоскости Оxy. Пусть С – точка пересечения прямой BB1 с этой плоскостью. По теореме Пифагора получим, что

AB^2=BC^2+AC^2.

Joon. 2.44

Отрезки AC и A1B1 равны и

A_1B_1^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2 (почему?).

Учитывая, что длина отрезка BC равна |z2 – z1|, получим:

AB^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2.    (1)

Если отрезок AB параллелен оси Оz, то его длина AB = |z2 – z1|. Но тот же результат получается и из формулы (1), так как в данном случае x2 = x1 и y2 = y1.

Таким образом, расстояние между точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2) в пространстве вычисляется по формуле

d=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

Ответ: P = 

  1. до начала координат.
    Ответ: расстояние от точки A до начала координат равно .
  2. до координатных плоскостей.
    Ответ: расстояние от точки A до плоскости Оxy равно , расстояние до плоскости Оyz  равно  и расстояние до плоскости Оxz равно .
  3. до координатных осей.
    Ответ: расстояние от точки A до оси Оx равно , расстояние до оси Оy равно  и расстояние до оси Оz равно .

Найдите на оси Оx точку, равноудаленную от точек K(1; 2; 3) и L(–2; 1; 3).

Ответ: точкой, равноудаленной от точек K и L, является точка с координатами.

Ответ: точкой, равноудаленной от точек A и B, является точка с координатами .

Ответ: Sполн = ; V = 

Ответ: точкой, равноудаленной от вершин треугольника ABC, является точка с координатами.

  1. Найдите периметр треугольника. К какому виду относится треугольник?
    Ответ: P = . Этот треугольник является .
  2. Чему равна аппликата любой точки отрезка AB?
    Ответ: аппликата любой точки отрезка AB равна .
  3. Чему равно расстояние от середины отрезка AB до его концов? Найдите координаты середины отрезка AB.
    Ответ: расстояние от середины отрезка AB до его концов равно . Середина отрезка AB имеет координаты .
  4. Найдите площадь треугольника ABC.
    Ответ: S = 

Ответ: P = ; S = .

Подобные задачи интересно решать (или проверять решение на компьютере) с помощью бесплатно скачиваемой программы GeoGebra Classic (https://www.geogebra.org/classic).

При этом нужно учитывать, что координаты точек в этой программе отделяются не точкой с запятой, а просто запятой.

Seotud sisu
Muud tegevused