Курс „Стереометрия”
Из курса основной школы мы знаем пространственные тела двух видов – многогранники и тела вращения. Вспомним основные понятия.
Многогранником называется тело, вся поверхность которого составлена из многоугольников.
Многоугольники, из которых составлена поверхность многогранника, называются его гранями, стороны этих многоугольников – ребрами, а вершины граней – вершинами многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от плоскости любой своей грани (рис. 2.45).
В выпуклом многограннике отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком содержится в многограннике. Важнейшие изученные до сих пор многогранники – призма и пирамида – являются выпуклыми многогранниками. В следующих параграфах мы будем рассматривать лишь выпуклые многогранники.
На рисунке 2.46 приведены примеры невыпуклых многогранников.
У таких многогранников некоторые отрезки, соединяющие две его точки, не содержатся целиком в многограннике.
Существуют многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники. Такие многогранники изучались еще учеными Древней Греции. Древнегреческий философ Платон (428 – 347 до Р.Х.) считал их элементами, из которых построена вся Вселенная, связывая эти тела с огнем, воздухом, землей и водой. Уже в то время было доказано, что из равных правильных многоугольников можно составить лишь пять различных многогранников с такими гранями: из правильных треугольников – три многогранника, из правильных четырехугольников (т. е. квадратов) – один и из правильных шестиугольников также один.
Такие многогранники называются правильными многогранниками, или Платоновыми телами.
Правильным многогранником называется выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками, и из каждой вершины которого выходит одно и то же число ребер.
Платону принадлежат также названия правильных многогранников:
тетраэдр – правильный четырехгранник (рис. 2.74, а)
октаэдр – правильный восьмигранник (рис. 2.74, б)
икосаэдр – правильный двадцатигранник (рис. 2.74, в)
гексаэдр, или куб – правильный шестигранник (рис. 2.74, г)
додекаэдр – правильный двенадцатигранник (рис. 2.74, д).
Эти названия происходят от греческих слов тетра – 4, гекса – 6, окто – 8, додека – 12, икоси – 20, эдра – грань.
Телом вращения называется тело, образующееся при вращении какой-либо плоской фигуры вокруг некоторой фиксированной прямой.
Пусть, например, дан прямоугольный треугольник. Если вращать этот треугольник вокруг одного из катетов (вокруг прямой, на которой расположен этот катет), то в результате образуется конус (рис. 2.48). Конус – это тело вращения.
Телами вращения являются также предметы, изображенные на рисунке 2.49.
Прямая (или отрезок), вокруг которой происходит вращение плоской фигуры, называется осью тела вращения, а сечение этого тела плоскостью, проходящей через его ось, – осевым сечением.
Если пересечь тело вращения плоскостью, перпендикулярной к его оси, то получается перпендикулярное (или поперечное) сечение тела. На рисунке 2.50 закрашены осевое и перпендикулярное сечения некоторого тела.
В следующих параграфах мы рассмотрим вычисление площади поверхности и объема многогранников и тел вращения.
