Цилиндр

Курс „Стереометрия”

Цилиндром называется тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Рис. 2.76

Сторона прямоугольника, вокруг которой он вращается, является осью цилиндра. Сторона прямоугольника, противоположная оси, называется образующей цилиндра. Две другие стороны являются радиусами цилиндра. Цилиндр имеет два равных основания, являющихся кругами. Расстояние между основаниями называется высотой цилиндра (рис. 2.76).

При пересечении цилиндра плоскостью, проходящей через его ось, получается осевое сечение цилиндра. Осевым сечением является прямоугольник со сторонами 2r и h.

Развертка боковой поверхности цилиндра – это прямоугольник со сторонами h и 2πr.

Как мы уже знаем, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности цилиндра выражаются формулами:

Sбок=2πrh, Sполн=2πr(r+h),

где r – радиус основания и h – высота цилиндра.

* Выведем формулу для вычисления объема цилиндра, если высота цилиндра равна h и радиус основания равен r.

Выберем прямоугольную систему координат, в которой основания цилиндра расположены на плоскостях х = 0 и х = h, а боковая поверхность цилиндра образуется при вращении прямой у = r вокруг оси Ох (рис. 2.77).

При любом значении х перпендикулярное сечение цилиндра является кругом радиуса r и площадь этого круга S (x) = πr2, т. е. является постоянной. Воспользовавшись формулой V=\int_0^hS\left(x\right)dx, получим следующие результаты:

V = \int_0^h\pi r^2dx = \pi r^2\int_0^hdx = πr2 x 0h = \pi r^2h.*

Рис. 2.77

Согласно полученному результату объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту цилиндра:

V=πr2h=Sоснh.

Чтобы начертить эскиз цилиндра на плоскости, можно действовать так (рис. 2.78):

а) изобразим осевое сечение цилиндра;

б) изобразим основания цилиндра.

Рис. 2.78
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

В каком случае полученный цилиндр имеет:

  1. бóльшую площадь боковой поверхности?
    Ответ: в случае, когда прямоугольник вращается вокруг  стороны.
  2. больший объем?
    Ответ: в случае, когда прямоугольник вращается вокруг  стороны.

Ответ: Sполн =  cм2; V =  cм3.

Ответ: угол между диагоналями осевого сечения равен °.

Рис. 2.79

Ответ: бóльшая кастрюля вмещает  л, а меньшая –   л.

  1. Сколько литров горючего вмещает эта цистерна?
    Ответ: эта цистерна вмещает  л горючего.
  2. Сколько евро стоит нефть в заполненной цистерне, если стоимость барреля нефти равна 56,17 € (1 баррель = 158,8 литра)?
    Ответ: нефть в заполненной цистерне стоит  €.
Рис. 2.80
  1. из железа (плотность – 7,2\ \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{см}^3})
    Ответ: m =  г.
  1. из золота (плотность – 19,3\ \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{см}^3})
    Ответ: m =  г.
  2. из пробки (плотность – 0,3\ \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{см}^3})
    Ответ: m =  г.
  3. из меди (плотность – 8,9\ \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{см}^3})
    Ответ: m =  г.

Найдите внутренний диаметр трубки (плотность стекла равна 2,9\ \frac{\mathrm{г}}{\mathrm{см^3}}).

Ответ: внутренний диаметр трубки равен  cм.

Вычислите массу погонного метра такой трубы (плотность чугуна 7,2\ \mathrm{\frac{г}{\mathrm{см^3}}}).

Ответ: масса погонного метра такой трубы равна кг.

Обоснуйте эту формулу (плотность стали равна 7,8\ \mathrm{\frac{г}{\mathrm{см^3}}}.

  1. Какова площадь поверхности столба, предназначенная для наклеивания рекламных листов, если от нижнего и от верхнего края столба нужно оставить свободными 10 см?
    Ответ: площадь для наклеивания рекламных листов равна  м2.
  2. Рекламные плакаты какой ширины нужно заказать, чтобы их помещалось 4 штуки в один ряд вокруг всего столба?
    Ответ: нужно заказать плакаты шириной  см.

Ответ: радиус основания цилиндра нужно увеличить в  раз(а).

Ответ: S =  cм2

Ответ: d =  cм. Для изготовления такой мерки потребуется  cм2 жести.

Ответ: это сечение находится на расстоянии  дм от оси цилиндра.

Seotud sisu
Muud tegevused