Конус

Курс „Стереометрия”

Конусом называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (рис. 2.81, а).

Рис. 2.81

При этом вращении гипотенуза треугольника является образующей конуса и описывает боковую поверхность конуса. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса (рис. 2.81, б). Привращении другого катета получается круг, являющийся основанием конуса.

Катет, вокруг которого вращается треугольник, является осью конуса и высотой конуса. При пересечении конуса плоскостью, проходящей через его высоту, получается осевое сечение конуса (рис. 2.82, а). Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником.

Рис. 2.82

При пересечении конуса плоскостью, параллельной его основанию, получим перпендикулярное сечение конуса, являющееся кругом, параллельным основанию (рис. 2.82, б).

Рис. 2.83

Чтобы получить формулу площади боковой поверхности конуса, впишем в него n-угольную пирамиду (рис. 2.83). Тогда площадь боковой поверхности этой пирамиды есть S_n=\frac{1}{2}nam_n, где а – сторона основания и mn – апофема пирамиды (высота боковой грани). При неограниченном увеличении числа вершин основания пирамиды периметр ее основания na приближается к длине окружности основания 2πr, а апофема пирамиды mn приближается к образующей конуса m. Таким образом, мы можем утверждать, что

площадь боковой поверхности конуса
​Sбок = πrm.

Площадь полной поверхности конуса
​Sполн = πr(r + m).

* Выведем формулу объема конуса с высотой h и радиусом основания r.

Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 2.84, и найдем уравнение прямой, при вращении которой вокруг оси Ох получается боковая поверхность конуса.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат, есть y = ax. Угловой коэффициент этой прямой a=\tan\mathrm{\alpha}=\frac{r}{h}. Следовательно, образующая конуса расположена на прямой y=\frac{r}{h}x.

Рис. 2.84

Объем конуса

V = \pi\int_0^h\left[\frac{r}{h}x\right]^2dx = πr2h2·x33 0 h = \frac{\pi r^2h^3}{3h^2} = \frac{\pi r^2h}{3} = \frac{1}{3}S_{осн}h. *

Объем конуса V=13Sоснh=13πr2h.

Эскиз конуса на плоскости можно получить так (рис. 2.85):

а) изобразим осевое сечение конуса;

б) изобразим основание конуса.

Рис. 2.85

Пример.

Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается вокруг своей гипотенузы. Найдем площадь полной поверхности и объем полученного тела вращения.

Решение. Полученное тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием (рис. 2.86).

Гипотенуза треугольника c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{9+16} = 5 (см). Радиус r общего основания конусов найдем из прямоугольного треугольника. Площадь вращающегося треугольника можно выразить двумя способами: S=\frac{3\cdot4}{2} и S=\frac{5r}{2}. Эти величины равны и потому 5r = 12, откуда r = 2,4 см. Площадь поверхности тела равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов, следовательно,

Sполн = \pi ra+\pi rb = \pi r\left(a+b\right) = 2,4\pi\left(3+4\right) = 16,8\pi ≈ 52,8 (см2).

Рис. 2.86

Объем тела

V = \frac{1}{3}\pi r^2h_1+\frac{1}{3}\pi r^2h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2\left(h_1+h_2\right) = \frac{1}{3}\pi r^2c = \frac{1}{3}\pi\cdot2,4^2\cdot5 = 9,6π ≈ 30,2 (см3).

Ответ: площадь поверхности тела 16,8\pi\approx52,8\ \mathrm{см^2}, объем тела 9,6\pi\approx30,2\ \mathrm{см^3}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

Ответ: Sполн =  cм2

Ответ: Sполн =  cм2; V =  cм3; угол наклона образующей конуса к его основанию равен.

Ответ: V =  cм3

Ответ: отношение площадей боковых поверхностей этих конусов равно , а отношение объемов – .

Ответ: угол наклона образующей конуса к основанию равен °.

Ответ: площадь сечения равна .

Ответ: сечение нужно провести на расстоянии  см от вершины конуса.

Ответ: Sполн = 

Ответ: Sбок =  м2; V =  м3.

Ответ: V =  cм3

Ответ: угол между образующей и высотой  конуса равен°.

Ответ: V = 

Ответ: для покрытия этой крыши потребуется  м2 жести.

Какова масса щебня в этой куче, если плотность щебня составляет 1800\ \mathrm{\frac{кг}{\mathrm{м^3}}}?

Ответ: эта куча щебня весит  тонн(ы).

Найдите массу стога, если плотность сена равна \mathrm{0,03\ \frac{г}{\mathrm{см^3}}}.

Ответ: масса стога сена составляет  тонн(ы).

Ответ: во втором сосуде уровень жидкости будет на высоте  см.

Ответ: S =  дм2

Ответ: S =  cм2; V =  cм3

Ответ: S =  дм2; V =  дм3

Seotud sisu
Muud tegevused