* Нахождение объема тела вращения с помощью интеграла

Курс „Стереометрия”

Рассмотрим теперь, как найти объем тела вращения с помощью определенного интеграла.

Пусть тело вращения получено при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х = а, х = b (a < b) и графиком непрерывной функции у = f(x), где f(x) ≥ 0 (рис. 2.73). Тогда полученное тело вращения заключено в пространстве между плоскостями х = а и х = b.

Как мы знаем, объем тела может быть вычислен по формуле V=\int_a^bS\left(x\right)dx, если для любого х известна площадь S(x) cоответствующего перпендикулярного сечения тела.

Рис. 2.73

В данном случае любое такое сечение является кругом радиуса r = f(x) (рис. 2.73) и потому S\left(x\right)=\pi r^2=\pi\left[f\left(x\right)\right]^2. Поскольку тело заключено между плоскостями х = а и х = b, то объем тела вращения выражается похожей

V=\pi\int_a^b\left[f\left(x\right)\right]^2dx.

Полученная формула позволяет найти объем тела, образованного при вращении криволинейной трапеции. Это тело можно рассматривать как ограниченное плоскостями х = а, х = b и поверхностью, образованной вращением вокруг оси Ох графика функции у = f(x).

Пример.

Найдем объем тела, изображенного на рисунке 2.74.В данном случае f\left(x\right)=\sqrt{x}, а пределы интегрирования есть а = 0 и b = 4. Получим:V = \pi\int_0^4\left(\sqrt{x}\right)^2dx = \pi\int_0^4xdx =