Korrutise ruutjuur. Jagatise ruutjuur

More like this

Korrutise ruutjuur

Avaldiste $\sqrt{4 \cdot 9}$ ja $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$ väärtusi arvutades näeme, et need on võrdsed:

$\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ ja $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$ .

Ka näiteks $\sqrt{49 \cdot 100} = 70$ ja $\sqrt{49} \cdot \sqrt{100} = 70$ .

Selle tähelepaneku järgi võime sõnastada teoreemi.

Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega.

Eeldus. a ≥ 0 ja b ≥ 0.

Väide. $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ .

Tõestus. Võrdleme avaldiste $\sqrt{a b}$ ja $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ruutusid:

${(\sqrt{a b})}^{2} = a b$

${(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})}^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} \cdot {(\sqrt{b})}^{2} = a b$

Kui mittenegatiivsete arvude ruudud on võrdsed, siis on ka need arvud võrdsed.

Seega tõepoolest

$\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ _◼︎

Näited

$\sqrt{49 \cdot 25}$ = $\sqrt{49} \cdot \sqrt{25}$ = $7 \cdot 5$ = $35$
$\sqrt{64 \cdot 0,16}$ = $\sqrt{64} \cdot \sqrt{0,16}$ = $8 \cdot 0,4$ = $3,2$
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$
$\sqrt{0,08} \cdot \sqrt{0,32}$ = $\sqrt{0,08 \cdot 0,32}$ = $\sqrt{0,0256}$ = $0,16$

More like this

Jagatise ruutjuur

Et leida reeglit ruutjuure leidmiseks jagatisest, vaatleme kõigepealt näiteid.

Võrdleme avaldiste $\sqrt{\frac{100}{4}}$ ja $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}}$ väärtusi. Avaldise väärtuse $\sqrt{\frac{100}{4}}$ leidmiseks jagame esmalt 100 4-ga ja seejärel leiame ruutjuure:

$\sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5$ .

Avaldise $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}}$ väärtuse arvutamiseks leiame esmalt, et $\sqrt{100} = 10$ ja $\sqrt{4} = 2$ ning seejärel leiame jagatise:

$\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} = \frac{10}{2} = 5$ .

Näeme, et mõlemal juhul saame ühe ja sama tulemuse. Ka näiteks $\sqrt{\frac{64}{16}} = \sqrt{4} = 2$ ja $\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{16}} = \frac{8}{4} = 2$ .

Mittenegatiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega.

Eeldus. a ≥ 0 ja b > 0.

Väide. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .

Tõestus. Võrdleme vasakul ja paremal olevate avaldiste $\sqrt{\frac{a}{b}}$ ja $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ruutusid:

${(\sqrt{\frac{a}{b}})}^{2} = \frac{a}{b}$ ja

${(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})}^{2} = \frac{{(\sqrt{a})}^{2}}{{(\sqrt{b})}^{2}} = \frac{a}{b}$ .

Kui mittenegatiivsete arvude ruudud on võrdsed, siis on ka need arvud võrdsed.

Järelikult

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ _◼︎

Näited

$\sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$
$\sqrt{\frac{64}{0,16}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{0,16}} = \frac{8}{0,4} = 20$
$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{32}} = \sqrt{\frac{72}{32}} = \sqrt{\frac{36}{16}} = \frac{6}{4} = 1,5$
$\frac{\sqrt{0,12}}{\sqrt{0,75}} = \sqrt{\frac{0,12}{0,75}} = \sqrt{0,16} = 0,4$ või $\frac{\sqrt{0,12}}{\sqrt{0,75}} = \sqrt{\frac{0,12}{0,75}} = \sqrt{\frac{12}{75}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$

More like this

Ülesanded A

miks teoreemis korrutise ruutjuurest peavad mõlemad tegurid olema mittenegatiivsed;
miks teoreemis jagatise ruutjuurest nõutakse, et jagaja oleks positiivne arv.

$\sqrt{16 \cdot 81}$ =

\sqrt{25 \cdot 100}

=

\sqrt{0,04 \cdot 0,36}

=

\sqrt{64 a^{2} b^{2}}

=

\sqrt{9 b^{2} \cdot 4 a^{2}}

=

\sqrt{25 m^{2} n^{2} \cdot 0,01 r^{2} s^{2}}

=

\sqrt{0,36 \cdot 64 a^{2} b^{2} c^{2}}

=

\sqrt{\frac{25}{121}}

=

\sqrt{\frac{16}{0,01}}

=

\sqrt{1 \frac{11}{25}}

=

\sqrt{5 \frac{4}{9}}

=

\sqrt{\frac{a^{2}}{49}}

=

\sqrt{\frac{4 m^{2}}{9}}

=

\sqrt{\frac{81 a^{2}}{b^{2}}}

=

\sqrt{\frac{36 a^{4}}{a^{2}}}

=

\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}

=

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}$ =

$\sqrt{121} \cdot \sqrt{16}$ =

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{242}$ =

$\sqrt{20} \cdot \sqrt{80}$ =

$\sqrt{36} \cdot \sqrt{9}$ =

$\sqrt{45} \cdot \sqrt{5}$ =

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$ =

$\frac{\sqrt{162}}{\sqrt{50}}$ =

\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{147}}

=

\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{4}}

=

\frac{\sqrt{0,28}}{\sqrt{1,75}}

=

\frac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,32}}

=

\frac{\sqrt{0,2}}{\sqrt{0,8}}

=

\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}}

=

\frac{\sqrt{512}}{\sqrt{8}}

=

\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{56}}

=

\frac{}{}

$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{12}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{48}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{\sqrt{0,18}}{\sqrt{162}} \cdot \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{0,08}}$ = $\frac{}{}$

$\frac{\sqrt{0,2}}{\sqrt{0,72}} \cdot \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{98}}$ = $\frac{}{}$

More like this

Ülesanded B

$\sqrt{6} (\sqrt{54} + \sqrt{96})$ =

$\sqrt{14} (\sqrt{56} - \sqrt{126})$ =

${(\sqrt{20} + \sqrt{5})}^{2}$ =

${(\sqrt{27} - \sqrt{12})}^{2}$ =

${(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{30})}^{2}$ =

${(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2,5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{0,25})}^{2}$ =

$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}} (\frac{\sqrt{84}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{189}}{\sqrt{27}})$ =

\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{8}} (\frac{\sqrt{375}}{\sqrt{32}} + \frac{\sqrt{135}}{\sqrt{128}})

=

{(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{125}} - \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{5}})}^{2}

=

Arvuta kahel erineval viisil avaldise

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

väärtus, kui

	1. viis	2. viis	Vastus
a = 50, b = 48
a = 61, b = 11
a = 13, b = 12
a = 45, b = 27

Tegurda avaldis, teades, et

{(\sqrt{a})}^{2} = a

.

x²– 3 = $(- \sqrt{}) (+ \sqrt{})$

7 – b² = $(\sqrt{} -) (\sqrt{} +)$

4a²– 5 = $(- \sqrt{}) (+ \sqrt{})$

$2 \sqrt{3} + 3$ = $\sqrt{} (+ \sqrt{})$

$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} < 3 + 4$
$\sqrt{10^{2} - 6^{2}} > 10 - 6$
$\sqrt{25^{2} - 24^{2}} > 25 - 24$

Millise järelduse teed summa ja vahe juurimise kohta?

Näita, et võrdus $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = a + b$

üldiselt ei kehti;
kehtib ainult a ja b teatud väärtuste korral. Leia need a ja b väärtused.

$1$ = $\sqrt{1}$ = $\sqrt{(- 1) \cdot (- 1)}$ = $(\sqrt{- 1}) \cdot (\sqrt{- 1})$ = ${(\sqrt{- 1})}^{2}$ = $- 1$

More like this

Service provided by Star Cloud LLC

Join Opiq

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Korrutise ruut­juur. Jagatise ruut­juur

More like this