Пересекающиеся прямые

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Пересекающиеся прямые. Две прямые пересекаются, если их направляющие векторы неколлинеарны. Чтобы найти точку пересечения прямых, нужно решить систему уравнений, составленную из уравнений данных прямых. Искомая точка принадлежит обеим прямым, и потому ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Если прямые заданы общими уравнениями, то такая система имеет вид

$\{\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0 . \end{cases}$

Если требуется найти угол между прямыми, то направляющий вектор каждой прямой находим из ее общего уравнения. Для этого выразим из уравнения Ax + By + c = 0 переменную y. Получим y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}. Следовательно, угловой коэффициент k=-\frac{A}{B} и направляющим вектором будет \vec{s_1}=\left(1;\ k\right)=\left(1;\ -\frac{A}{B}\right). В качестве направляющего вектора можно также взять вектор \vec{s}=-B\cdot\vec{s_1}=-B\cdot\left(1;\ -\frac{A}{B}\right)=\left(-B;\ A\right).

Одним из направляющих векторов прямой Ах + Ву + С = 0 является вектор $\vec{s} = (- B; A)$ .

Пример 1.

Найдем точку пересечения прямых x + 4y – 6 = 0 и 3x + y + 4 = 0, а также угол между этими прямыми.

Точку пересечения прямых найдем, решив систему уравнений:

$\{\begin{cases} x + 4 y - 6 = 0 \\ 3 x + y + 4 = 0 \end{cases}$ ⇒ $\{\begin{cases} 3 x + 12 y - 18 = 0 \\ 3 x + y + 4 = 0 \end{cases}$ ⇒ $11 y - 22 = 0$ ⇒ $y = 2$ ;

$x + 4 \cdot 2 - 6 = 0$ ⇒ $x = - 2$ .

Значит, прямые пересекаются в точке (−2; 2).

Направляющими векторами этих прямых будут \vec{s_1}=\left(-4;\ 1\right) и \vec{s_2}=\left(-1;\ 3\right).Чтобы найти угол между данными прямыми, вычислим сначала косинус этого угла:\cos\varphi = \frac{\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}}{\left|\vec{s_1}\right|\cdot\left|\vec{s_2}\right|} = \frac{4+3}{\sqrt{16+1}\cdot\sqrt{1+9}} ≈ 0,5369.Угол между данными прямыми φ ≈ 57°32'.

Пример 2. Найдем точку пересечения прямых y = 0,75x + 2 и y = −8,3x − 2, а также угол между этими прямыми.Точку пересечения найдем, решив систему уравнений

\{\begin{cases} y = 0,75 x + 2 \\ y = - 8,3 x - 2 \end{cases}

Подставим выражение переменной у из первого уравнения во второе и решим полученное уравнение:

0,75x+2=-8,3x-2 ⇒ 9,05x=-4 ⇒ x=-\frac{80}{181}.Значение у найдем, например, из первого уравнения:y=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{80}{181}\right)+2=1\frac{121}{181}.Следовательно, прямые пересекаются в точке \left(-\frac{80}{181};\ 1\frac{121}{181}\right).Найдем угол между прямыми. Угловые коэффициенты этих прямых k_1=0,75 и k_2=-8,3, поэтому направляющими векторами прямых будут соответственно \vec{s}=\left(1;\ 0,75\right) и \vec{t}=\left(1;\ -8,3\right). Получим:\cos\varphi\ =\ \frac{1-8,3\cdot0,75}{\sqrt{1+0,75^2}\cdot\sqrt{1+\left(-8,3\right)^2}} ≈ \frac{-5,225}{1,25\cdot8,36} = –0,5 ⇒ φ = 120°.Так как нам нужно найти острый угол между прямыми, то этим углом будет α = 180° – φ = 60°.Ответ: прямые пересекаются в точке \left(-\frac{80}{181};\ 1\frac{121}{181}\right) и угол между прямыми равен 60°.

Перпендикулярность прямых является частным случаем их пересечения. Взаимная перпендикулярность прямых равносильна перпендикулярности их направляющих векторов \vec{s_1}=\left(1;\ k_1\right) и \vec{s_2}=\left(1;\ k_2\right). Перпендикулярность векторов означает, что их скалярное произведение \vec{s_1}\cdot\vec{s_2}=0, т. е. 1\cdot1+k_1\cdot k_2=0 и, следовательно, k_1k_2=-1.Рассуждая в обратном порядке, мы получим, что из соотношения k_1k_2=-1 следует равенство нулю скалярного произведения направляющих векторов и перпендикулярность этих векторов, а потому и перпендикулярность прямых.Значит,

две прямые y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно –1,т. е. k₁ · k₂ = –1.

Пример 3. Прямые 12x −3y = 0 и 2x + 8y –9 = 0 взаимно перпендикулярны, так как скалярное произведение их направляющих векторов \vec{s_1}=\left(3;\ 12\right) и \vec{s_2}=\left(-8;\ 2\right) равно нулю: \vec{s_1}\cdot\vec{s_2}=3\cdot\left(-8\right)+12\cdot2=0.

Пример 4. Найдем прямую, которая перпендикулярна прямой y = 5x + 7 и проходит через точку A(2; −1).Искомая прямая перпендикулярна прямой с угловым коэффициентом k_1=5, поэтому ее угловой коэффициент

k_{2} = - \frac{1}{k_{1}} = - 0,2

. Уравнением прямой с угловым коэффициентом k_2=-0,2, проходящей через точку A(2; −1), будет y + 1 = –0,2 ⋅ (x – 2), или y = –0,2x – 0,6.Ответ: эта прямая задана уравнением y = –0,2x – 0,6.

Пример 5. Решим треугольник, образованный пересекающимися прямыми y = –8x – 29, 2x + 9y – 19 = 0 и 3x –4y –11 = 0.

Сделаем эскиз (рис. 3.54).

Рис. 3.54

Найдем вершины A, B, C треугольника:

\{\begin{cases} y = - 8 x - 29 \\ 2 x + 9 y - 19 = 0 \end{cases} \Rightarrow A (- 4; 3)

$\{\begin{cases} 2 x + 9 y - 19 = 0 \\ 3 x - 4 y - 11 = 0 \end{cases} \Rightarrow B (5; 1)$

$\{\begin{cases} 3 x - 4 y - 11 = 0 \\ y = - 8 x - 29 \end{cases} \Rightarrow C (- 3; - 5)$ .

Образуем векторы \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC} и вычислим их длины:

\overrightarrow{AB}=\left(9;\ -2\right) ⇒ c=\sqrt{81+4}=\sqrt{85},

\overrightarrow{AC}=\left(1;\ -8\right) ⇒ b=\sqrt{1+64}=\sqrt{65},

\overrightarrow{BC}=\left(-8;\ -6\right) ⇒ a=\sqrt{64+36}=10.

Найдем углы треугольника:

\cos\mathrm{\alpha} = \frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AB}\right|} = \frac{9+16}{\sqrt{85}\cdot\sqrt{65}} ≈ 0,3363,
α ≈ 70°21';

\cos\mathrm{\beta} = \frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{BA}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BC}\right|} = \frac{-9\cdot\left(-8\right)+2\cdot\left(-6\right)}{\sqrt{85}\cdot10} ≈ 0,6508,
β ≈ 49°24';

γ ≈ 180° – 70°21' – 49°24' = 60°15'.

Заметим, что углы треугольника можно было найти по теоремам косинусов и синусов, так как стороны треугольника a, b, c (длины соответствующих векторов) уже известны.

Площадь треугольника найдем по двум сторонам и углу между ними:

S=\frac{bc\sin\mathrm{\alpha}}{2} = 0,5\cdot\sqrt{65}\cdot\sqrt{85}\cdot\sin70°21' ≈ 35.

Ответ: стороны треугольника a = 10, b=\sqrt{65}\approx8,1 и c=\sqrt{85}\approx9,2, а противолежащие им углы α ≈ 70°21', β ≈ 49°24' и γ ≈ 60°15'. Площадь треугольника S ≈ 35.

3x + 5y – 9 = 0 и 10x – 6y + 1 = 0

Отыет: точка пересечения прямых есть , а угол между прямыми равен .

x + y + 2 = 0 и 2x + 5y – 3 = 0

Ответ: точка пересечения прямых есть , а острый угол между ними равен .

x + 1 = 0 и x + 2y = 0

Ответ: точка пересечения прямых есть , а острый угол между ними равен .

x + 2 = 0 и y – 1 = 0

Ответ: точка пересечения прямых есть , а угол между ними равен .

x – 2y + 5 = 0 и 2x + y = 7

Ответ: точка пересечения прямых есть , а угол между ними равен .

y = 2x и y = –4x + 3

Ответ: точка пересечения прямых есть , а острый угол между ними равен .

–4x – 10y + 7 = 0