Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”
Võtame peatükkides 15.4–15.6 õpitud tuletise rakendused kokku nn funktsiooni uurimise ülesandes.
Funktsiooni
1. Teeme kindlaks funktsiooni määramispiirkonna X.
Määramispiirkonda ei kuulu näiteks funktsiooni valemis sisalduvate
– nimetajate nullkohad,
– juuritavate avaldiste negatiivsuspiirkonnad paarisarvulise juurija korral,
– logaritmitavate avaldiste negatiivsuspiirkonnad ja nullkohad.
2. Leiame funktsiooni nullkohtade hulga X0.
Selleks lahendame võrrandi
3. Leiame funktsiooni positiivsuspiirkonna X+ ja negatiivsuspiirkonna X–.
Selleks lahendame vastavalt võrratused
4. Leiame funktsiooni ekstreemumkohtade hulga Xe ja määrame ekstreemumite liigi.
Selleks lahendame võrrandi
5. Avaldame funktsiooni kasvamisvahemikud X↑ ja kahanemisvahemikud X↓.
Selleks lahendame vastavalt võrratused
6. Saadud andmetele toetudes skitseerime funktsiooni graafiku.
Vajaduse korral arvutame lisaks veel mõnede punktide koordinaadid (nt graafiku ja y-telje lõikepunkt).
Näide.
Uurime funktsiooni
- Kuna funktsiooni väärtused on arvutatavad argumendi x kõikide väärtuste korral, siis on funktsiooni määramispiirkond X = R.
- Nullkohtade leidmiseks lahendame võrrandi
x^3+3x^2=0 . Toome x2 sulgude ette ja rakendame korrutise nulliga võrdumise tingimust. Saame, etx_1=0 ja x_2=-3. Seega nullkohtade hulkX_0=\left\{-3;\ 0\right\} .
- Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse
x^3+3x^2>0 . Toome x2 taas sulgude ette ja saame, etx^2\left(x+3\right)>0 . Kuna tegur x2 on iga x väärtuse korral mittenegatiivne, siis leiame antud võrratuse lahendihulgax>−3 võrratusestx+3>0 , s.tX^+=\left(−3;\ ∞\right) (joonis 3.34). Analoogiliselt leiame võrratusestx^2\left(x+3\right)<0 negatiivsuspiirkonnaX^{-=\left(-∞;\ -3\right)} .
- Ekstreemumkohtade leidmiseks lahendame võrrandi
y'=0 .y'=3x^3+6x .
Seega tuleb lahendada võrrand3x^2+6x=0 .
3x^2+6x=0 ⇔3x\left(x+2\right)=0 , millest saame võimalike ekstreemumkohtade hulga\left\{-2;\ 0\right\} .
Ekstreemumi liigi määramiseks leiame funktsiooni teise tuletise märgi võimalikel ekstreemumkohtadel.
Ety''=6x+6 ningy''\left(-2\right)<0 jay''\left(0\right)>0 , siis on vaadeldaval funktsioonil kohalx_1=-2 maksimum ja kohalx_2=0 miinimum.
Asendades ekstreemumkohadx_1=-2 jax_2=0 funktsiooniy=x^3+3x^2 valemisse, leiame veel ekstreemumpunktid: maksimumpunkt (–2; 4) ja miinimumpunkt (0; 0).
- Kasvamisvahemike leidmiseks lahendame võrratuse
y'>0 . Saame, et3x^2+6x>0 . See võrratus on samaväärne võrratusega3x\left(x+2\right)>0 .
Viimase lahendihulga, s.t uuritava funktsiooni kasvamisvahemikud, leiame jooniselt 3.35.X_1\uparrow=\left(-∞;\ -2\right) ja X_2\uparrow=\left(0;\ ∞\right) .
Samalt jooniselt leiame analoogiliselt funktsiooni kahanemisvahemikuX\downarrow=\left(-2;\ 0\right) .
 Joon. 3.35 | ||||||
- Leitud andmetele tuginedes skitseerimegi joonisel 3.36 funktsiooni
y=x^3+3x^2 graafiku.
 Joon. 3.36 | ||||||
Ülesanded
Vastus.
Millist informatsiooni punkti liikumise kohta saame sellelt graafikult?
- Service provided by Star Cloud LLC