Võrrandi tan x = m lahendamine

Võrrandi \tan x=m, kus otsitavaks on nurk x, üheks lahendiks on nurk \mathrm{\alpha}=\arctan m (joonis 3.32) vahemikust \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right). Selles vahemikus võrrandil rohkem lahendeid pole. Et saada võrrandi tan x = m kõiki lahendeid, tuleb lisada nurgale arctan m täis­arvu­kordne periood π.

Joon. 3.32

Tulemusena saame nn üld­lahendi

x = arctan m + nπ, kus n ∈ Z.

Kui võrrandi tan x = 0 lahendid leitakse kraadi­mõõdus, saame üld­lahendi kujul

x = arctan m + n · 180°, kus n ∈ Z.

Näide 1.

Lahendame võrrandi tan x = –1.

Et \arctan\left(-1\right)=-\frac{\pi}{4}, siis x=-\frac{\pi}{4}+n\pi, kus n ∈ Z.

Lahendite õigsuse kontrolliks tuleb kontrollida vaid nurga arctan m (k = 0) sobivust alg­võrrandisse.

Näide 2.

Leiame funktsiooni y = tan x – sin x null­kohad.

Selleks lahendame võrrandi y = 0 ehk tan x – sin x = 0. Teeme seda järgmiselt:

\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=0 ⇒ \frac{\sin x-\sin x\cdot\cos x}{\cos x}=0 ⇒ \sin x\left(1-\cos x\right)=0.

Viimasest võrrandist \sin x=0, millest x_1=\left(-1\right)^n\cdot0+n\pi ehk x_1=n\pi, ja 1-\cos x=0, millest \cos x=1 ja x_2=2n\pi. Kontrollimisel selgub, et sobivad kõik üld­lahenditega antud nurgad. Et aga lahend x_1=n\pi, n ∈ Z sisaldab ka teise üld­lahendi kõiki väärtusi, siis funktsiooni y = tan x – sin x null­kohad saame esitada kujul x=n\pi, n ∈ Z.

More like this
More options

Ülesanded A

Ülesanne 749. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

\tan x=0,998
x ≈ , n ∈ Z.

\tan x=9, \left[-\pi;\ \pi\right]
x ≈ , n ∈ Z.
x1 ≈ , x2 ≈ 

\tan x=-2,0036, \left[-2\pi;\ 2\pi\right]
x ≈ , n ∈ Z.
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ , x4 ≈ 

3\tan x=4\tan^2x, \left[-\pi;\ \pi\right]
x1 = , x2 ≈ , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = , x4 = , x5 = 

\tan^2x+3=2\sqrt{3}\tan x, \left(-1,5\pi;\ 1,5\pi\right)
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = 

2\tan^2x+3\tan x+1=0
tan x = , tan x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

Ülesanne 750. Funktsiooni null­kohad

y=\tan2x
x = , n ∈ Z.

y=\tan x-1
x = , n ∈ Z.

y=\tan4x-\sqrt{3}, \left[-\pi;\ \pi\right]
x = , n ∈ Z.
Null­kohad kasvavalt:
x1 = , x2 = , x3 = , x4 = , x5 = , x6 = , x7 = , x8 = 

More like this
More options

Ülesanded B

Ülesanne 751. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine

\tan\frac{2}{3}x-\tan\frac{x}{3}=0
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = 

Ülesanne 752. Funktsiooni null­kohad

y=\sqrt{3}\tan4x-1

x = , n ∈ Z.

y=\sqrt{3}+\tan\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)

x = , n ∈ Z.

y=\tan^2x-\sin^2x

x = , n ∈ Z.

More like this
More options