Обратная функция

Пусть на множестве X задана некоторая функция. Тогда каждому элементу х множества X поставлен в соответствие единственный элемент у из множества Y значений этой функции.

Пример 1.

Пусть X – множество всех учеников вашей школы, а Y – множество их возрастов (в годах). На множестве X определена функция, ставящая каждому ученику в соответствие его возраст. В то же время, обратное соответствие не является функцией, поскольку в школе, вообще говоря, много учеников одного и того же возраста. Если взять некоторый элемент множества Y (некоторый возраст), то мы не можем сказать однозначно, какому конкретному ученику он соответствует.

Пример 2.

Пусть X – множество всех натуральных чисел и Y – множество квадратов этих чисел. Тогда функция у = х2 устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств X и Y: каждому числу х ∈ Х соответствует одно число у ∈ Y и обратно, каждому числу у ∈ Y соответствует единственное число х ∈ Х (такое, что х2 = у, рис. 2.59, а). Таким образом, и на множестве Y определена функция. Если же в этом рассуждении в качестве X взять множество всех целых чисел, то на множестве X будет также определена функция у = х2 с тем же множеством значений Y. Однако теперь мы не можем определить функцию на множестве Y, так как каждое число у ∈ Y (кроме нуля) соответствует уже двум разным числам из множества X (рис. 2.59, б).

Рис. 2.59

Рассмотренные примеры показывают, что если на множестве X определена некоторая функция, множеством значений которой является множество Y, то могут возникнуть две возможности:

  1. некоторые элементы множества Y соответствуют двум или нескольким элементам множества X (пример 1);
  2. каждый элемент у множества Y соответствует только одному элементу х множества X, или, что равносильно, разным элементам множества X соответствуют разные элементы множества Y (пример 2, рис. 2.59, а).

В первом случае по выбранному элементу y ∈ Y нельзя однозначно найти элемент х ∈ Х, которому он соответствует (их может быть несколько). Во втором случае для любого у ∈ Y найдется в точности один х ∈ Х такой, что f(x) = у, т. е. мы получим, что каждому элементу у ∈ Y ставится в соответствие единственный элемент х ∈ Х. В этом случае возникает функция, определенная на множестве Y, множеством значений которой является Х.

Пусть на множестве X определена функция y = f (x). Если каждому элементу у из множества значений Y этой функции соответствует в точности один элемент x множества X такой, что y = f(x), то такое соответствие определяет на множестве Y функцию, называемую обратной[понятие: Обратная функция (pöördfunktsioon) – функцией, обратной к данной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) является функция 𝑥 = 𝑓⁻¹(𝑦), которая ставит в соответствие каждому значению 𝑦 из множества значений 𝑌 функции 𝑓 такой элемент 𝑥 из области определения 𝑋 функции 𝑓, что 𝑦 = 𝑓(𝑥). В случае обратной функции используют также обозначение 𝑦 = 𝑓⁻¹(𝑥).] к исходной функции.

Рис. 2.60

Функция, обратная функции y = f (x), обозначается, как x = f –1(y) (рис. 2.60). Обычно и для обратной функции аргумент обозначают через x, а значение функции – через y, т. е. записывают ее в виде y = f –1(x). Областью определения обратной функции является множество значений исходной функции, а множеством значений – область определения исходной функции.

Пример 3.

Функция y = 2x + 1 имеет обратную функцию, так как для каждого значения y существует единственное значение x, при котором 2х + 1 = у (рис. 2.61, а). Функция y = x2 + 1 не имеет обратной, так как для всех y (кроме y = 1) имеются два разных значения x, при которых х2 + 1 = у (рис. 2.61, б). Однако для функции y = x2 + 1, где X = [0; ∞), существует обратная ей функция (рис. 2.61, в).

Рис. 2.61

Пример 4.

Найдем функцию, обратную к функции y = 2x + 1. Для этого нужно указать правило, позволяющее по заданному значению y исходной функции найти значение x. Выразим из уравнения y = 2x + 1 переменную x:

2x=y-1, откуда x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}.

Формула x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} как раз и позволяет найти значение х по известному значению y, т. е. эта формула является формулой обратной функции. Обозначив в уравнении обратной функции аргумент буквой x, а значение функции – буквой у, мы получим, что функция, обратная к f(x) = 2x + 1, задается равенством f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}, или y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}. 

Графики функций изображены на рисунке 2.62.

Рис. 2.62

ТЕОРЕМА. Графики функции y = f(x) и обратной ей функции y = f –1(x) симметричны друг другу относительно прямой у = х.

Доказательство.

Переход от функции y = f (x) к обратной ей функции x = f–1(y) сводится лишь к изменению ролей множеств X и Y. Поэтому графики функций y = f (x) и x = f–1(y) (как множества точек на плоскости) совпадают. Если же обозначить аргумент обратной функции через х, а ее значения – через у, т. е. записать функцию в виде y = f –1(x), то это приведет к преобразованию графика исходной функции, а именно, к симметричному отображению относительно прямой у = х. Данное обстоятельство как раз и описывается рассматриваемой теоремой.

Рис. 2.63

Пусть Р(а; b) – произвольная точка графика функции y = f(x), который, как уже отмечалось, совпадает с графиком обратной функции x = f –1(y). Поменяем местами в формуле обратной функции переменные х и у, т. е. запишем ее в виде y = f –1(x). При этом точка P(b; a) графика перейдет в точку Q(b; a), полученную из точки Р путем перестановки значений координат (рис. 2.63). Обратно, всякая точка Q(b; a) графика функции y = f –1(x) переходит при этом в точку P(a; b) графика исходной функции.

Осталось показать, что точки Р и Q симметричны относительно прямой у = х. Для этого запишем уравнение прямой PQ: \frac{x-a}{b-a}=\frac{y-b}{a-b}, или y=-x+a+b. Прямые PQ и y = x взаимно перпендикулярны, так как произведение их угловых коэффициентов равно –1. Середина отрезка PQ есть точка С\left(\frac{a+b}{2};\frac{a+b}{2}\right), т. е. точка с равными абсциссой и ординатой. Поэтому точка С принадлежит прямой y = x, следовательно, точки P и Q симметричны относительно этой прямой. ♦

Всякая возрастающая и всякая убывающая функция имеют обратную функцию.

В самом деле, если функция возрастает на области определения, то различным значениям x соответствуют различные значения y. Поэтому каждое значение y соответствует только одному значению x.

More like this
More options

Упражнения A

Задание 492. Обратная функция
Рис. 2.64

Взаимно однозначное соответствие:

  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)
  • f)

Существует обратная функция:

  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)
  • f)
More like this
More options

Упражнения Б

Задание 493. Обратная функция

y=-0,5x-2

Обратная функция:
y = 

y=\sqrt{x-1}

Обратная функция:
y = 

y=2x^2,\ x\le0

Обратная функция:
y = 

y=\frac{1}{3}x-5

Обратная функция:
y = 

y=\frac{x-3}{2}

Обратная функция:
y = 

y=x^3+1

Обратная функция:
y = 

y=x^2+x

Обратная функция:
y = 

y=-8x-5

Обратная функция:
y = 

y=x^2-3,\ x\ge0

Обратная функция:
y = 

Задание 494. График обратной функции

y=x^2, x\ge0

Данная функция:

X = 

Y = 

Обратная функция:

X = 

Y = 

y=-x+6

Данная функция:

X = 

Y = 

Обратная функция:

X = 

Y = 

y=-x^2+4, x\le0

Данная функция:

X = 

Y = 

Обратная функция:

X = 

Y = 

y=x^3

Данная функция:

X = 

Y = 

Обратная функция:

X = 

Y = 

Задание 495. График обратной функции

Задание 496. График обратной функции
  1. Начертите график функции y=\frac{2}{x-1}. Найдите область определения X и множество значений Y этой функции.
    Ответ: X = ; Y = .
  2. Найдите для данной функции обратную и постройте ее график.
    Ответ: обратная функция есть .
  3. Найдите область определения и множество значений обратной функции.
    Ответ: X = ; Y = .
Задание 497. Обратная функция

Данная функция

Обратная функция

y=-x+3

y = 

y=\frac{2}{x}

y = 

y=\frac{1-x}{1+x}

y = 

Приведите еще какие-нибудь примеры функций, обладающих свойством, подмеченным для приведенных выше функций.

More like this
More options