Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Курс „Интеграл. Плоские фигуры”

Рассмотрим теперь задачу о вычислении площади криволинейной трапеции с несколько иной точки зрения.

Каждая такая криволинейная трапеция должна иметь определенную площадь. Тогда каждому значению переменной х соответствует определенная криволинейная трапеция, а значит, и площадь S этой трапеции. Поэтому площадь S криволинейной трапеции с переменным основанием оказывается функцией переменной х: S = S(x).

Выясним, как связаны между собой функции y = f(x) и S = S(x).

Сдвинем правое основание криволинейной трапеции на ∆х вправо, тогда это основание переместится в точку х + ∆х (рис. 1.12). В результате к первоначальной трапеции добавится новая криволинейная трапеция с основаниями f(x) и f(x + ∆х), площадь ∆S которой является приращением функции S = S(x), соответствующим приращению ∆х аргумента.

Рис. 1.12

Рис. 1.13

Дополним рисунок двумя пунктирными линиями (рис. 1.13). Тогда к правой криволинейной трапеции добавятся два прямоугольника. Площадь меньшего прямоугольника равна Δx · f (x), а площадь большего будет Δx · f (x + Δx). Мы видим, что площадь ∆S трапеции справа будет заключена между площадями этих двух прямоугольников:

\Delta x\cdot f\left(x\right)<\Delta S<\Delta x\cdot f\left(x+\Delta x\right).

Заметим, что этот результат, как видно на рисунке 1.13, получен в предположении, что рассматриваемая функция возрастает на промежутке [x; x + ∆х].

Разделив неравенства почленно на число ∆х > 0, получим, что 

f\left(x\right)<\frac{\Delta S}{\Delta x}<f\left(x+\Delta x\right).

Так как приращение аргумента ∆х может быть сколь угодно малым, то при Δx → 0 мы получаем, что f (x + Δx) → f (x). Так как отношение \frac{\Delta S}{\Delta x} заключено между f (x) и f (x + Δx), то и \frac{\Delta S}{\Delta x}\to f\left(x\right) (при Δx → 0).

В параграфе 1.1 мы вспомнили, что при Δx → 0 отношение \frac{\Delta S}{\Delta x} стремится к производной функции S(x).

Значит, и в данном случае мы получили, что S'(x) = f (x).

Данный результат получен в предположении, что рассматриваемая функция возрастает на промежутке [x; x + ∆х]. Можно показать, что такой же результат получится, если функция будет убывающей или же постоянной на этом промежутке.

Мы получили, что площадь S = S(x) переменной криволинейной трапеции является первообразной для функции f (почему?). Вспомним теперь, что любая первообразная функции f выражается в виде F (x) + C, где F – некоторая фиксированная первообразная. Поэтому

S(x) = F(x) + C.

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции у = f(x) ≥ 0, прямыми х = а, х = b и осью абсцисс, выражается формулой

Так как функция F(x) является первообразной функции f(x), то функцию F(x) можно выразить и с помощью интеграла: F\left(x\right)+C=\int f\left(x\right)dx. Символ интеграла используется и при вычислении площади криволинейной трапеции в случае, когда оба основания этой трапеции фиксированы. Если первое основание проходит через точку х = а и второе – через точку х = b, то пишут

Выражение \int_a^bf\left(x\right)dx называется определенным интегралом от а до b функции f (читают: интеграл от а до b эф от икс дэ икс). Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Определенный интеграл является числом, которое в случае f(x) ≥ 0 равно площади соответствующей криволинейной трапеции. Таким образом, правило вычисления определенного интеграла функции f в пределах от а до b определяется формулой

Формула (1) называется формулой Ньютона-Лейбница в честь создателей дифференциального и интегрального исчисления – английского математика и физика И. Ньютона (1642−1727 гг.) и немецкого математика и философа Г. В. Лейбница (1646−1716 гг.), которые почти одновременно и независимо пришли к описанному выше способу вычисления площади криволинейной трапеции.

Приращение первообразной F(b) – F(a) в формуле (1) обычно записывается кратко и удобно в виде $$ F\left(x\right)\overline{){ }_a^b}$$. К формуле (1) мы пришли в предположении, что f (x) ≥ 0, но эта формула задает определенный интеграл для случая любой непрерывной на отрезке [a; b] функции. Случай, когда f (x) < 0 будет подробнее рассмотрен ниже, в параграфе 1.8.