Ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 lahendivalem

Ruutvõrrandi lahendamine kaksliikme ruuduks täiendamise võttega on aeganõudev. Kuna teisendamine toimub alati ühesuguse skeemi järgi, siis on mõistlik leida sellele skeemile vastav üldine lahendivalem. Vaatleme üldkujulist ruutvõrrandit

ax² + bx + c = 0 ehk ax² + bx = –c.

Täiendame viimase võrrandi vasaku poole eelmise peatüki eeskujul kaksliikme ruuduks. Et esimene liige oleks ühe kaksliikme ruut, korrutame kõigepealt võrrandi mõlemaid pooli teguriga 4a. Siis saame

4a²x² + 4abx = –4ac ehk (2ax)² + 2 ⋅ 2ax ⋅ b = –4ac.

Et saada viimase võrrandi vasakule poolele kaksliikme ruutu, tuleb selle poolega liita b². Sama arv tuleb liita muidugi ka võrrandi parema poolega. Siis saame:

(2ax)² + 2 · 2ax · b + b² = b² – 4ac
ehk
(2ax + b)² = b² – 4ac.

Eeldades, et b² –4ac ≥ 0, leiame saadud võrrandi mõlemast poolest ruutjuure ja seejärel võrrandi lahendid:

$\begin{array}{rcl} |2 a x + b| & = & \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ 2 a x + b & = & \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ 2 a x & = & - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

Seega saab ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 lahendid leida valemiga

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$ .

Näide 1

Lahendame ruutvõrrandi 4x²+ 7x –2 = 0.

Siin a = 4, b = 7 ja c = –2. Lahendivalemi järgi saame:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 4} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{- 7 \pm 9}{8} \end{array}$

$x_{1} = \frac{- 7 - 9}{8} = - 2, x_{2} = \frac{- 7 + 9}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$

Oma arvutuste õigsuse kontrollimiseks asendame saadud lahendid võrrandisse 4x² + 7x – 2 = 0.

Näiteks x₁ = –2 korral võrrandi vasak pool
v = 4 ⋅ (–2)²+ 7 ⋅ (–2) – 2 = 16 –14 – 2 = 0.

Järelikult on x₁ = –2 võrrandi lahend. Analoogiliselt saab kontrollida, et ka 0,25 sobib lahendiks.

Vastus. x₁ = –2, x₂ = 0,25.

Näide 2

Lahendame ruutvõrrandi x² – 6x + 9 = 0.

Siin a = 1, b = –6 ja c = 9. Lahendivalemi järgi saame:

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{6 \pm 0}{2} \end{array}$

Öeldakse, et sellel võrrandil on kaks võrdset lahendit:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & x_{2} = \frac{6}{2} = 3 \end{array}$ .

Vastus. x = 3.

Näide 3

Lahendame võrrandi –3x² + 11x – 6 = 0.

Siin on otstarbekas, kuid mitte ilmtingimata tarvilik, korrutada (või jagada) võrrandi mõlemaid pooli teguriga –1. Sellega vabaneme negatiivsest kordajast x² ees ja väheneb võimalike vigade oht lahendivalemi kasutamisel. Nii saame uue, eelmisega samaväärse võrrandi

3x² – 11x + 6 = 0,

mille lahendamisel saame, et $x_{1} = \frac{2}{3}$ ja $x_{2} = 3$ . (Kontrolli seda!)

Vastus. $x_{1} = \frac{2}{3}$ ja $x_{2} = 3$ .

Näide 4

Lahendame võrrandi 3x² – 2x + 4 = 0.

Lahendivalemi järgi leiame, et

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 44}}{6}$ .

Et negatiivsest arvust ei saa ruutjuurt leida, siis antud võrrandil puuduvad lahendid (meile tuntud arvude hulgas).

Vastus. Lahendid puuduvad.

Näide 5

Lahendame võrrandi $\begin{array}{rcl} t^{2} + \frac{t}{3} & = & \frac{1 - 4 t}{4} \end{array}$ .

Kõigepealt lihtsustame võrrandit ja anname võrrandile normaalkuju. Selleks korrutame võrrandi pooli murdude ühise nimetajaga 12, taandame ja toome kõik liikmed vasakule:

$\begin{array}{rcl} 12 t^{2} + \frac{12 t}{3} & = & \frac{12 (1 - 4 t)}{4} \\ 12 t^{2} + 4 t & = & 3 (1 - 4 t) \\ 12 t^{2} + 4 t - 3 + 12 t & = & 0 \\ 12 t^{2} + 16 t - 3 & = & 0 \end{array}$

Lahendivalemit kasutades leiame, et

$t = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 144}}{2 \cdot 12}$ = $\frac{- 16 \pm \sqrt{400}}{24}$ = $\frac{- 16 \pm 20}{24}$ ,

millest t₁ = –1,5 ja $t_{2} = \frac{1}{6}$ .

Vastus. t₁ = –1,5 ja $t_{2} = \frac{1}{6}$ .

Proovi seda ülesannet lahendada ka teisel viisil, viies liikmed vasakul pool ühisele nimetajale ja lahendades edasi nagu võrdekujulist võrrandit.

Seotud sisu

Ülesanded A

x² – 3x + 2 = 0
x₁ = , x₂ =

x² + 3x – 10 = 0x₁ = , x₂ =

–2t² + 5t – 2 = 0t₁ = , t₂ =

z² + z – 56 = 0z₁ = , z₂ =

10u² + 17u – 39 = 0u₁ = , u₂ =

–3v² + 7v + 6 = 0v₁ = , v₂ =

109. Ruutvõrrandi lahendivalem

Lahenda kirjalikult vihikus näites 3 antud võrrand –3x² + 11x – 6 = 0 ilma kordajate märke muutmata. Väldi võimalikke „märgivigu”!

x² – 3x – 4 = 0x₁ = , x₂ =

3u² – 7u – 6 = 0u₁ = , u₂ =

3m² + 2m – 1 = 0m₁ = , m₂ =

3x² – 18x + 27 = 0x₁ = , x₂ =

4x² – 24x + 20 = 0x₁ = , x₂ =

t² – 5t + 6 = 0t₁ = , t₂ =

2x² – 9x + 4 = 0x₁ = , x₂ =

2z² + 2z – 60 = 0z₁ = , z₂ =

y² + y + 2 = 0y₁ = , y₂ =

10x² + 130x + 300 = 0x₁ = , x₂ =

3x² + 2x – 8 = 0x₁ = , x₂ =

2x² + 2x – 24 = 0x₁ = , x₂ =

3t² – 8t – 3 = 0t₁ = , t₂ =

2s² + 3s – 2 = 0s₁ = , s₂ =

2u² – 9u + 4 = 0u₁ = , u₂ =

2x² + 9x + 10 = 0x₁ = , x₂ =

x² – 12x + 35 = 0x₁ = , x₂ =

3t² – 2t – 1 = 0t₁ = , t₂ =

4z² – 4z – 3 = 0z₁ = , z₂ =

2u² – 3u – 2 = 0u₁ = , u₂ =

2v² – 7v + 3 = 0v₁ = , v₂ =

4x² – 4x + 1 = 0x₁ = , x₂ =

3y² – 10y + 3 = 0y₁ = , y₂ =

2n² + 18n – 20 = 0n₁ = , n₂ =

4z² – 12z – 72 = 0z₁ = , z₂ =

v² + 5v + 4 = 0v₁ = , v₂ =

5z² + 2z + 1 = 0z₁ = , z₂ =

9y² – 9y + 2 = 0y₁ = , y₂ =

5t² – 11t + 2 = 0t₁ = , t₂ =

3v² – 5v – 2 = 0v₁ = , v₂ =

(2x – 1)(x + 3) = 0x₁ = , x₂ =

(5x – 1)² = 9x₁ = , x₂ =

(x – 2)(x + 3) = 6x₁ = , x₂ =

(x – 2)²= –1x₁ = , x₂ =

3x² – 2x = 0x₁ = , x₂ =

2(x – 1)² + 4(x – 1) = 0x₁ = , x₂ =

x² + 2x + 1 = 25x₁ = , x₂ =

x² – 4x + 4 = 36x₁ = , x₂ =

x(x + 2) = 35x₁ = , x₂ =

x² = 3(2x – 3)x₁ = , x₂ =

2(s² – 9) = 5(s – 4)s₁ = , s₂ =

(u – 1)² = u + 1u₁ = , u₂ =

(1 + 2t)(1 – 2t) = 3tt₁ = , t₂ =

(u + 7)² = 28uu₁ = , u₂ =

(3x – 2)(2x – 1) = xx₁ = , x₂ =

(3x + 1)(9 – x) = (3 – x)²x₁ = , x₂ =

x(3x + 2) = 8xx₁ = , x₂ =

50 – 3t = t(2t – 3)t₁ = , t₂ =

Vastus. Need arvud on ja või ja .

Vastus. Need arvud on ja .

Seotud sisu

Ülesanded B

6 x + \frac{{(1 + x)}^{2}}{2} = \frac{(x - 1) (x + 2)}{4} + 8

x₁ = , x₂ =

\frac{3 u + 4}{5} - \frac{u^{2} - 4 u - 6}{10} = - 1

u₁ = , u₂ =

\frac{(2 v - 1) (1 + 2 v)}{3} - \frac{{(v - 2)}^{2}}{4} = v + 107

v₁ = , v₂ =

\frac{(u - 1) (u + 3)}{3} - \frac{u (u - 1)}{2} = \frac{2}{3}

u₁ = , u₂ =

x^{2} - x \sqrt{2} - 1 = 0

x₁ ≈ , x₂ ≈

2 t^{2} + t \sqrt{5} - 2 = 0

t₁ ≈ , t₂ ≈

5 u^{2} - 10 u + \sqrt{2} = 0

u₁ ≈ , u₂ ≈

x^{2} \sqrt{2} - 2 x - \sqrt{8} = 0

x₁ ≈ , x₂ ≈

x² + 7x – 7 = 0x₁ ≈ , x₂ ≈

x² – 8x + 9 = 0x₁ ≈ , x₂ ≈

t² + 4t – 6 = 0t₁ ≈ , t₂ ≈

m² + m – 5 = 0m₁ ≈ , m₂ ≈

(x – 1)(x + 2) = 7x₁ ≈ , x₂ ≈

(x + 2)² – 3x = 5x₁ ≈ , x₂ ≈

x = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - a c}}{a} .

Tuleta kirjalikult vihikus see valem, asendades üldises lahendivalemis kordaja b avaldisega 2k ja lihtsustades tulemust.

Kasuta saadud valemit järgnevate võrrandite lahendamisel:

3x² + 4x + 1 = 0
x₁ = , x₂ =

x² – 4x – 21 = 0x₁ = , x₂ =

3x² + 10x – 8 = 0x₁ = , x₂ =

5t² – 12t + 4 = 0t₁ = , t₂ =

9s² + 40s – 25 = 0s₁ = , s₂ =

7u² – 20u – 3 = 0u₁ = , u₂ =

(x – 1)² – 9(x – 1) + 14 = 0x₁ = , x₂ =

(2t – 1)² + 2(2t – 1) – 15 = 0t₁ = , t₂ =

3(5u – 1)² – 5(5u – 1) + 2 = 0u₁ = , u₂ =

6(y + 2)² + y + 1 = 0y₁ = , y₂ =

Vihje

Võta sulgudes olev avaldis uueks tundmatuks (abitundmatu) ja lahenda võrrand esialgu abitundmatu suhtes.

Kumera n-nurga diagonaalide arvu d saab leida valemi

d = \frac{(n - 1) (n - 2)}{2} - 1

abil.

Kontrolli selle valemi kehtivust n = 3 ja n = 4 korral.
Millise n korral on hulknurgal 65 diagonaali?

Vastus. Hulknurgal on 65 diagonaali siis, kui n = .
Kas on olemas hulknurk, milles d = n (külgede ja diagonaalide arv on võrdne)?

Vastus. Selline hulknurk , siis n = .

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Ruut­võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem

Näide 1

Näide 2

Näide 3

Näide 4

Näide 5

Seotud sisu

Ülesanded A

109. Ruut­võrrandi lahendi­valem

Seotud sisu

Ülesanded B

Vihje

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ruutvõrrandi ax² + bx + c = 0 lahendivalem

109. Ruutvõrrandi lahendivalem