Sümbol arctan m

Kui tan α = m ja otsitav nurk α leitakse piir­konnast -\frac{\pi}{2}<\mathrm{\alpha}<\frac{\pi}{2} (vt y = tan x graafikut, joonis 3.26), siis kirjutatakse, et α = arctan m, mida loetakse arkus­tangens m. Seega

arctan m on absoluut­väärtuselt vähim nurk, mille tangens on m.

Definitsiooni kohaselt

tan (arctan m) = m

ja

-π2<arctan m<π2.

Näide 1.

Definitsiooni kohaselt on \tan\left(\arctan\left(-10\right)\right)=-10 ja \arctan1=\frac{\pi}{4}, sest \tan\frac{\pi}{4}=1 ning -\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}.

Nurga arctan m arvutamiseks on tasku­arvutil klahvid arctan või arctg või tan–1 või tg–1 või tuleb kasutada klahvi­kombinatsiooni arc tan või INV tan. Edasi tuleb toimida analoogiliselt arcsin m juhuga.

Näide 2.

Veenduge tasku­arvuti abil, et radiaan­mõõdus on arctan 12,03 ≈1,4879. Kraadi­mõõdus saaksime, et arctan 12,03 ≈ 85°14'53''.

Näide 3.

Arvutame sin (arctan (–3)).

Tasku­arvutit kasutades leiame nurga arctan (–3) ja see­järel kohe siinuse saadud nurgast: sin (arctan (–3)) ≈ –0,9487.

Soovides leida täpset väärtust, tähistame arctan (–3) = α, millest tan α = –3. Leida tuleb sin α. Selleks avaldame sin α tan α kaudu:

1+\tan^2\mathrm{\alpha}=\frac{1}{\cos^2\mathrm{\alpha}} ⇒ \cos^2\mathrm{\alpha}=\frac{1}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}} ⇒ 1-\sin^2\mathrm{\alpha}=\frac{1}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}} ⇒ \sin^2\mathrm{\alpha}=\frac{\tan^2\mathrm{\alpha}}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}}.

Et \tan\mathrm{\alpha}=-3<0 ja -\frac{\pi}{2}<\mathrm{\alpha}<\frac{\pi}{2}, siis on α neljanda veerandi nurk ning sin α < 0. Seega,

\sin\mathrm{\alpha}=-\sqrt{\frac{\left(-3\right)^2}{1+\left(-3\right)^2}}=\frac{-3}{\sqrt{10}}=-0,3\sqrt{10} ⇒ \sin\left(\arctan\left(-3\right)\right)=-0,3\sqrt{10}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 733. arctan m väärtuse leidmine

\arctan1 = 

\arctan\sqrt{3} = 

\arctan0 = 

\arctan2,65 = 

\arctan0,04 = 

\arctan99 = 

\arctan\left(-\sqrt{3}\right) = 

\arctan\left(-8,3\right) = 

Ülesanne 734. Võrrandi lahendamine

\arctan x=\frac{\pi}{6}
x = 

\arctan x=\frac{\pi}{4}
x = 

\arctan x=\frac{\pi}{2}
x = 

\arctan x=0
x = 

\arctan x=-1,55
x = 

\arctan x=-0,0421
x = 

\arctan\left(x-4\right)=0
x = 

\arctan\left(4-x\right)=3
x = 

\arctan\left(5x+2,8\right)=1
x = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 735. Avaldise väärtuse leidmine

\tan\left(\arctan36,7\right) = 

\cos\left(\arctan7\right) = 

\cos\left(\arctan\left(-2\right)\right) = 

\sin\left(\arctan\left(-8\right)\right) = 

\tan\left(2\arctan4\right) = 

\tan\left(\pi-\arctan13\right) = 

Seotud sisu
Muud tegevused