Võrrandi sin x = m lahendamine

Kursus „Funktsioonid”

Võrrandil sin x = m on lahendid vaid siis, kui |m| ≤ 1, sest alati on –1 ≤ sin x ≤ 1.

Peatükis 12.4 leidsime võrdusest sin x = m vaid absoluut­väärtuselt vähima nurga arcsin m. Näites 2 saime, et \arcsin0,5=\frac{\pi}{6}=30\degree ja \arcsin\left(-1\right)=-\frac{\pi}{2}=-90\degree. Järgnevalt vaatleme, kuidas leida võrrandi sin x = m kõiki lahendeid.

Peatüki 12.1 näites 2 lahendasime võrrandi \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Selleks joonestasime y=\sin x graafiku ja sirge y=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Nende joonte lõike­punktide x väärtused ongi vaadeldava võrrandi lahendid. Nii saime jooniselt 2.53 võrrandile \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} kuus erinevat lahendit.

Kui toimida võrrandi sin x = m korral samuti, s.t joonistada y=\sin x graafik ja sirge y = m ning leida joonte lõike­punktide abstsisside avaldised, saame, et

x1 = arcsin m + 2kπ ja x2 = –arcsin m + (2k + 1)π, kus k ∈ Z.

Kui nurk arcsin m on leitud kraadides, tuleb ka nurgad 2π ja π radiaani esitada kraadides. Siis

x1 = arcsin m + 360°k ja x2 = –arcsin m + (2k + 1) · 180°, kus k ∈ Z.

Lahendi­valemeid x1 ja x2 saab kokku võtta ka üheks lahendiks, nn üld­lahendiks kujul

x = (–1)n arcsin m + nπ või x = (–1)n arcsin m + n · 180°, kus n ∈ Z.

Andes tähelisele suurusele n mingi kindla täis­arvulise väärtuse, saame võrrandi sin x = m ühe konkreetse lahendi, nn eri­lahendi.

Näide 1.

Lahendame võrrandid 1) sin x = 0; 2) sin x = 0,6428; 3) sin x = –0,5526.

  1. Et arcsin 0 = 0 rad, siis x = (–1)n · 0 + nπ ehk x = nπ, kus n ∈ Z.
  2. Siinuse väärtusele 0,6428 vastav nurk arcsin 0,6428 ≈ 40°0'. Seega on võrrandi sin x = 0,6428 üld­lahendiks x = (–1)n · 40° + n · 180°, kus n ∈ Z.
  3. Et arcsin (–0,5526) ≈ –33°33', üld­lahend on x = (–1)n · (–33°33') + n · 180° ehk x = (–1)n+1 · 33°33' + n · 180°, kus n ∈ Z.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel tuleb üld­reeglina lahendeid kontrollida. Seda tingib esma­joones võõr­lahendite tekke võimalus. Kui kasutati üld­lahendit, tuleb kontroll teha nurkadega, mis saadakse n = 0 ja n = 1 korral. Kui aga kasutatakse kahte lahendi­valemit x1 ja x2, tuleb kontroll teha nurkadega, mis saadakse kummastki valemist, n = 0 korral.

Näide 2.

Peatükis 12.7 lahendasime ruut­võrrandi \sin^2x-0,6\cdot\sin x-0,4=0. Tulemuseks saime, et \sin x=1 ja \sin x=-0,4. Leiame nende põhi­võrrandite lahendid lõigul 0\degree\le x\le540\degree.

Leiame esmalt põhi­võrrandite \sin x=1 ja \sin x=-0,4 üld­lahendid:

  1. Et \arcsin1=90\degree, siis võrrandi \sin x=1 üld­lahend on x_1=\left(-1\right)^n90°+n\cdot180°.
  2. Kui \sin x=-0,4, siis \arcsin(-0,4)=-23°35' ja üld­lahend x_2=\left(-1\right)^n\left(-23\degree35'\right)+n\cdot180° ehk x_2=\left(-1\right)^{n+1}\cdot23°35'+n\cdot180°.​​

Leiame üld­lahenditest eri­lahendid, mis kuuluvad piir­konda 0\degree\le x\le540\degree. Selleks anname arvule n täis­arvulisi väärtusi 0; 1; 2; …

  1. x_1=\left(-1\right)^n90°+n\cdot180°. Kui n=0 või n=1, saame nurga \mathrm{\alpha}_1=90\degree; kui n=2 või n=3, saame nurga \mathrm{\alpha}_2=450\degree.
  2. x_2=\left(-1\right)^{n+1}\cdot23°35'+n\cdot180°. Kui n=1, siis \mathrm{\alpha}_3=203\degree35'; kui n=2, siis \mathrm{\alpha}_4=336\degree25'.

Kontrollimisel lahendid sobivad. Seega on esi­algse võrrandi lahendeiks antud lõigus nurgad 90°; 203°35'; 336°25'; 450°.

Nagu juba oleme kogenud, ei ole trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks ühte kindlat võtet, on hulk erinevaid lahendus­viise, millest iga kord tuleb leida sobiv.

Näide 3.

Lahendame võrrandi \cos^2x+\sqrt{2}\sin x-1=0 lõigul -2\pi\le x\le\pi.

Üks soovitus trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel on minna üle ühele ja samale trigonomeetrilisele funktsioonile. Siin on seda hea teha valemi \sin^2\mathrm{\alpha}+\cos^2\mathrm{\alpha}=1 abil, millest \cos^2x=1-\sin^2x. Võrrand saab nüüd kuju 1-\sin^2x+\sqrt{2}\sin x-1=0, millest oma­korda \sin^2x-\sqrt{2}\sin x=0. Võttes sin x sulgude ette, tekib korrutis, mis võrdub nulliga: \sin x\left(\sin x-\sqrt{2}\right)=0. Siit \sin x=0 või \sin x-\sqrt{2}=0. Viimane võrrand on aga vastu­oluline, sest sel juhul \sin x=\sqrt{2}>1. Põhi­võrrandi \sin x=0 üldlahendiks on x=\left(-1\right)^n\cdot0\degree+n\cdot180\degree ehk x=n\cdot180\degree. Andes suurusele n täis­arvulisi väärtusi, saame eri­lahendid, mis rahuldavad ülesande tingimusi: −360°; −180°; 0° ja 180°. Kontrollimisel lahendid sobivad.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded

\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}
x = , n ∈ Z.

\sin x=-\frac{1}{2}
x = , n ∈ Z.

\sin x=0,7808
x ≈ , n ∈ Z.

\sin x=-0,362
x ≈ , n ∈ Z.

3\sin x=2,1
x ≈ , n ∈ Z.

-2\sin x=4,6
x ≈ , n ∈ Z.

\sin x=-1
x = , n ∈ Z.

\sin x=-0,5\sqrt{3}
x = , n ∈ Z.

2\sin x+0,0036=0
x ≈ , n ∈ Z.

\tan x=0
x = , n ∈ Z.

3\sin^2x+4\sin x=0, 0\le x\le2\pi
sin x = , sin x = 
x = , n ∈ Z
x1 = , x2 = , x3 = 

\sin^2x+2\sin x-3=0, -2\pi\le x\le2\pi
sin x = , sin x = 
x = , n ∈ Z
x1 = , x2 = 

\sin^3x\ =27, x ∈ R
sin x = 
x = , n ∈ Z

\sin^3x\ =0,008, -360°\le x\le90°
sin x = 
x ≈ , n ∈ Z
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ 

3\cos^2x+4\sin x=0, -90°\le x\le270°
sin x = , sin x = 
x ≈ , n ∈ Z
x1 ≈ , x2 ≈ 

\sin^2x=\frac{1}{2}, -270°\le x\le180°
sin x = , sin x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z
x1 = , x2 = , x3 = , x4 = , x5 = 

y=\sin x-1
x = , n ∈ Z.

y=\sin x+0,7
x ≈ , n ∈ Z.

y=2\sin x-0,88
x ≈ , n ∈ Z.

y=3\sin x-0,771
x ≈ , n ∈ Z.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot