Funktsiooni graafiku puutuja

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Ring­joone puutujaks nimetati sirget, millel on ring­joonega ainult üks ühine punkt P (joonis 3.14), mida nimetatakse puute­punktiks. Iga joone või funktsiooni graafiku puutujat nii defineerida ei saa, sest puutuja kui sirge võib joont (graafikut) lõigata puute­punktist kaugemates punktides. Näiteks joonisel 3.15 on puutujal s peale puute­punkti P veel joonega (graafikuga) ühised punktid A ja B.

Joon. 3.14
Joon. 3.15

Puutuja mõiste täpsemaks defineerimiseks vaatleme lõikajat s1 (joonis 3.15), mille üheks lõike­punktiks graafikuga on puute­punkt P ja teiseks lõike­punktiks punkt P1. Laseme nüüd lõikaja lõike­punkti P1 mööda graafikut läheneda tõkestamatult punktile P. Joonisel 3.15 on lõikaja s1 paar vahe­pealset asendit, sirged s2 ja s3, välja joonistatud. Piir­sirge (joonisel sirge s), millele lõikaja hakkab tõkestamatult lähenema, ongi graafiku puutuja punktis P. Kuidas puutuja liikumisel kujuneb, on hea jälgida arvutil näiteks programmiga GeoGebra.

Kokku­võetult:

funktsiooni graafiku puutujaks punktis P nimetatakse piir­sirget s, millele läheneb tõkestamatult lõikaja PP1, kui lõike­punkt P1 läheneb mööda graafikut tõkestamatult punktile P.

Funktsiooni y=f(x) graafiku (joonis 3.16) puutuja s läbib puute­punkti P(x0; y0). Seega oskaksime leida punkti ja tõusu kaudu funktsiooni graafiku puutuja võrrandi y-y_0=k\ (x-x_0), kui meil oleks teada, kuidas leida tõusu k=\tan\mathrm{\alpha}, kus nurk α on sirge (puutuja) tõusu­nurk (joonis 3.16). Püüame seda leida.

Joon. 3.16

Lähtume joonisest 3.16. Anname argumendi väärtusele x0 muudu Δx, siis argumendi uus väärtus on x_0+\Delta x, millele vastab graafikul punkt Q. Joonestame graafiku lõikaja PQ, s.t sirge s1. Selle tõusu­nurga tähistame tähega β. Kolm­nurgast PQR, mis on täis­nurkne, saame

\tan\mathrm{\beta}=\frac{\Delta y}{\Delta x}.

Lastes punktil Q mööda graafikut läheneda punktile P, läheneb sirge s1 puutujale s. Samal ajal Δx\to0 ja β läheneb nurgale α, s.t \mathrm{\beta}\to\mathrm{\alpha}. Kuid siis ka \tan\mathrm{\beta}\to\tan\mathrm{\alpha} ehk \frac{\Delta y}{\Delta x}\to\tan\mathrm{\alpha}. Et tan α on puutuja s tõus k, siis järelikult:

kui Q\to P, siis Δx\to0 ja \frac{\Delta y}{\Delta x}\to k.

Sõnastatult:
​funktsiooni graafiku puutuja tõus k on suurus, millele läheneb funktsiooni muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhe, kui argumendi muut läheneb nullile.

Kasutades funktsiooni piir­väärtuse mõistet, on

k=tan α=limΔx→0ΔyΔx.

Sõnastatult:
​funktsiooni graafiku puutuja tõus on võrdne funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piir­väärtusega, kui argumendi muut läheneb nullile.

Näide.

Leiame valemi funktsiooni y=\frac{1}{x} graafiku (joon 3.17) puutuja tõusu arvutamiseks. Leiame puute­punkti A(1; 1) läbiva puutuja võrrandi.

Joon. 3.17

Et \Delta y = \frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x} = \frac{x-x-\Delta x}{x\left(x+\Delta x\right)} = \frac{-\Delta x}{x\left(x+\Delta x\right)},

siis \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{x\left(x+\Delta x\right)} ja

kui \Delta x\to0, siis \frac{\Delta y}{\Delta x}\to-\frac{1}{x^2}

ehk piir­väärtuse mõistet ja sümboolikat kasutades

k=limΔx→0ΔyΔx = limΔx→0-1x(x+Δx) = -1x2.

Seega puutuja tõusu arvutamiseks on valem k=-\frac{1}{x^2} ning puute­punktis A(1; 1) on puutuja tõus k=-1. Järelikult selle puutuja võrrand on y-1=-1\left(x-1\right) ehk y=-x+2.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded

  • Tuletage valem puutuja tõusu arvutamiseks.

    Vastus. k = 
  • Leidke puutuja tõus ja puutuja võrrand punktis
    1. A(0; 4).

      Vastus. k = , y = 
    2. B(–2; y).

      Vastus. k = , y = 
    3. mille abstsiss on 1.

      Vastus. k = , y = 
  • Tuletage valem funktsiooni y=\frac{2x-4}{5x} graafiku puutuja tõusu arvutamiseks.

    Vastus. k = 
  • Kui suur on puutuja tõus kohal x = −1?

    Vastus. Siis k = 
  • Leidke puutuja võrrand, mis läbib punkti, kus x = −1.

    Vastus. y = 
Lisää aiheesta
Muut toiminnot