Funktsiooni uurimise ülesanne

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Võtame peatükkides 15.4–15.6 õpitud tuletise rakendused kokku nn funktsiooni uurimise ülesandes.

Funktsiooni y=f\left(x\right) uurimine toimub järgmise skeemi järgi.

1. Teeme kindlaks funktsiooni määramis­piirkonna X.

Määramis­piirkonda ei kuulu näiteks funktsiooni valemis sisalduvate
​– nimetajate null­kohad,
​– juuritavate avaldiste negatiivsus­piirkonnad paaris­arvulise juurija korral,
​– logaritmitavate avaldiste negatiivsus­piirkonnad ja null­kohad.

2. Leiame funktsiooni null­kohtade hulga X0.

Selleks lahendame võrrandi f\left(x\right)=0.

3. Leiame funktsiooni positiivsus­piirkonna X+ ja negatiivsus­piirkonna X–.

Selleks lahendame vastavalt võrratused f\left(x\right)>0 ja f\left(x\right)<0.

4. Leiame funktsiooni ekstreemum­kohtade hulga Xe ja määrame ekstreemumite liigi.

Selleks lahendame võrrandi f′\left(x\right)=0 ja kontrollime funktsiooni teise tuletise märki oletataval ekstreemum­kohal. Negatiivse teise tuletise korral on tegemist maksimumi, positiivse korral miinimumiga. Kui teine tuletis puudub või on 0, siis uurime täiendavalt funktsiooni kasvamist ja kahanemist oletatava ekstreemum­koha ümbruses.

5. Avaldame funktsiooni kasvamis­vahemikud X↑ ja kahanemis­vahemikud X↓.

Selleks lahendame vastavalt võrratused f′\left(x\right)>0 ja f′\left(x\right)<0. Samas kontrollime, kas tuletis muudab märki kõigi tuletise null­kohtade juures. Kui mõnel juhul see nii ei ole, siis kuulub vastav argumendi väärtus kas kasvamis- või kahanemis­vahemikku.

6. Saadud andmetele toetudes skitseerime funktsiooni graafiku.

Vajaduse korral arvutame lisaks veel mõnede punktide koordinaadid (nt graafiku ja y-telje lõike­punkt).

Näide.

Uurime funktsiooni y=x^3+3x^2.

  1. Kuna funktsiooni väärtused on arvutatavad argumendi x kõikide väärtuste korral, siis on funktsiooni määramis­piirkond X = R.
  2. Null­kohtade leidmiseks lahendame võrrandi x^3+3x^2=0. Toome x2 sulgude ette ja rakendame korrutise nulliga võrdumise tingimust. Saame, et x_1=0 ja ​​x_2=-3. Seega null­kohtade hulk X_0=\left\{-3;\ 0\right\}.
  1. ​Positiivsus­piirkonna leidmiseks lahendame võrratuse x^3+3x^2>0. Toome x2 taas sulgude ette ja saame, et x^2\left(x+3\right)>0. Kuna tegur x2 on iga x väärtuse korral mitte­negatiivne, siis leiame antud võrratuse lahendi­hulga x>−3 võrratusest x+3>0, s.t X^+=\left(−3;\ ∞\right) (joonis 3.34). Analoogiliselt leiame võrratusest x^2\left(x+3\right)<0 negatiivsus­piirkonna X^{-=\left(-∞;\ -3\right)}.
Joon. 3.34
  1. Ekstreemum­kohtade leidmiseks lahendame võrrandi y'=0.
    y'=3x^3+6x.
    Seega tuleb lahendada võrrand 3x^2+6x=0.
    ​3x^2+6x=0 ⇔ 3x\left(x+2\right)=0, millest saame võimalike ekstreemum­kohtade hulga \left\{-2;\ 0\right\}.
    Ekstreemumi liigi määramiseks leiame funktsiooni teise tuletise märgi võimalikel ekstreemum­kohtadel.
    Et y''=6x+6 ning y''\left(-2\right)<0 ​​ja y''\left(0\right)>0, siis on vaadeldaval funktsioonil kohal x_1=-2 maksimum ja kohal x_2=0 miinimum.
    Asendades ekstreemum­kohad x_1=-2 ja x_2=0 funktsiooni y=x^3+3x^2 valemisse, leiame veel ekstreemum­punktid: maksimum­punkt (–2; 4) ja miinimum­punkt (0; 0).
  1. Kasvamis­vahemike leidmiseks lahendame võrratuse y'>0. Saame, et 3x^2+6x>0. See võrratus on sama­väärne võrratusega 3x\left(x+2\right)>0.
    ​Viimase lahendi­hulga, s.t uuritava funktsiooni kasvamis­vahemikud, leiame jooniselt 3.35.
    X_1\uparrow=\left(-∞;\ -2\right) ja ​​X_2\uparrow=\left(0;\ ∞\right).
    Samalt jooniselt leiame analoogiliselt funktsiooni kahanemis­vahemiku X\downarrow=\left(-2;\ 0\right).​
Joon. 3.35
  1. Leitud andmetele tuginedes skitseerimegi joonisel 3.36 funktsiooni y=x^3+3x^2 graafiku.
Joon. 3.36
Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded

y=x^3-3x^2

Vastus. X = ; X0 = ; X^+ = ; X^- = ; Xe = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = 

y=-2x^3+3x^2

Vastus. X = ; X0 = ; X^+ = ; X^- = ; Xe = ; X\uparrow = ; X_1\downarrow = ; X_2\downarrow = 

y=2x^3+18x

Vastus. X = ; X0 = ; X^+ = ; X^- = ; Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = 

y=-3x^2-9x^4

Vastus. X = ; X0 = ; X^+ = ; X^- = ; Xe = ; X\uparrow = ; X\downarrow = 

Vastus. X = ; X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X_e = ; X_1\uparrow = ; X_2\uparrow = ; X\downarrow = 

Millist informatsiooni punkti liikumise kohta saame sellelt graafikult?

Lisää aiheesta
Muut toiminnot