Koosinus­funktsioon

Analoogiliselt siinus­funktsiooniga saab rääkida ka koosinus­funktsioonist, s.t funktsioonist y = cos x.

Koosinus­funktsiooni y = cos x määramis­piirkonnaks on kogu reaal­arvude hulk R, muutumis­piirkonnaks aga lõik [–1; 1], s.t
​–1 ≤ cos x ≤ 1 ehk |cos x| ≤ 1.

Seosest cos(–x) = cos x järeldub, et

koosinus­funktsioon on paaris­funktsioon

ning

koosinus­funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.

Et cos(x + n · 2π) = cos x, siis järelikult korduvad koosinus­funktsiooni väärtused iga 2π järel. Järelikult, ka

koosinus­funktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2π.

Koosinus­funktsiooni graafiku (joon. 3.23) saame konstrueerida üksikute punktide järgi või siis arvuti abil. Koosinus­funktsiooni graafikuks on sinusoid.

Joon. 3.23

Koosinus­funktsiooni graafiku saab leida ka funktsiooni/graafiku teisendusi (õpiku peatükk 2.14) kasutades. Selleks esitame cos x avaldise järgmisel kujul:

\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin\left[\pi-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right] = \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right).

Järelikult võib funktsiooni y = cos x asendada funktsiooniga y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right), mille graafiku saame aga funktsiooni y = sin x graafiku nihutamisel piki x-telge \frac{\pi}{2} võrra vasakule.

Koosinus­funktsioon on pidev funktsioon.

Näide 1.

Osutub, et cos (–3) < cos (–1), sest argumendi väärtused –3 ja –1 kuuluvad koosinus­funktsiooni ühte kasvamis­vahemikku: –π < –3 < –1 < 0.

Näide 2.

Selgitame, millise märgiga on cos (–5,8).

Et argumendi x väärtus –5,8 kuulub koosinus­funktsiooni positiivsus­piirkonda

-\frac{5\pi}{2}\approx-7,85<-5,8<-\frac{3\pi}{2}\approx-4,71,

siis cos (–5,8) > 0.

Näide 3.

Kasutades koosinus­funktsiooni graafikut, lahendame võrrandi cos x = 0,5 ja võrratuse cos x < 0,5.

Joonestame koosinus­funktsiooni graafiku ning sirge y = 0,5 (joonis 3.24). Võrrandi cos x = 0,5 lahendiks on nende joonte lõike­punktide abstsissid.

Joon. 3.24​

Et \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=0,5, siis on punktide A ja B abstsissid vastavalt -\frac{\pi}{3} ja \frac{\pi}{3}. Kuna meid huvitavad punktid korduvad iga 2π järel, siis on võrrandi cos x = 0,5 lahendid

…, -\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, … ja -\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, …

ehk argumendi väärtused

x_1=-\frac{\pi}{3}+2n\pi ja x_2=\frac{\pi}{3}+2n\pi, kus n ∈ Z.

Kasutame võrratuse cos x < 0,5 lahendamiseks sama joonist. Nüüd huvitab meid x-telje piir­kond, kus funktsiooni y = cos x graafik paikneb all­pool sirget y = 0,5. Üheks selliseks vahemikuks, nagu näha jooniselt, on vahemik \frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}. Kuna vastavad piir­konnad korduvad iga 2π järel, siis võrratuse cos x < 0,5 lahend koosneb vahemikest

..., -\frac{5\pi}{3}<x<-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}<x<\frac{11\pi}{3}, …

ehk

\frac{\pi}{3}+2n\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2n\pi, n ∈ Z.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded A

Ülesanne 703. Funktsiooni y = cos x väärtused

Argumendi väärtus

x=\frac{\pi}{6}

x=\frac{\pi}{2}

x=-\frac{\pi}{6}

x=\frac{9\pi}{10}

Funktsiooni väärtus

Argumendi väärtus

x=\frac{17\pi}{6}

x=-\frac{113\pi}{14}

x=2,04

x=-3

Funktsiooni väärtus

Ülesanne 704. Võrrandi lahendamine

Vastus. x = , kus n ∈ Z.

Ülesanne 705. Koosinus­funktsiooni uurimine
Joon. 3.23
  1. positiivsus- ja negatiivsus­piirkond.
    Vastus. X^+ = , X^- = 
  2. kasvamis- ja kahanemis­vahemikud.
    Vastus. X_n\uparrow = , X_n\downarrow = 
  3. ekstreemum­kohad ja vastavad funktsiooni väärtused.
    Vastus. E_{\max}; E_{\min}
Ülesanne 706. Avaldise märgi leidmine

Avaldis

Avaldise märk

\cos8

\cos\left(-5,6\right)

\cos1

\cos\frac{5\pi}{8}

Ülesanne 707. Võrdlemine

\cos0,8  \cos1,8

\cos\left(-\pi\right)  \cos\left(-2\pi\right)

\cos8  \cos6,4

\cos\left(-5\right)  \cos3

Ülesanne 708. Funktsiooni graafiku konstrueerimine

708.1 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas.

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

708.2 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas.

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

708.3 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas.

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

708.4 Funktsiooni graafiku konstrueerimine

Konstrueerige funktsiooni graafik antud piir­konnas.

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ülesanne 709. Funktsiooni null­kohad

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X_0 = 

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Vastus. X_0 = 

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X_0 = 

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X_0 = 

Ülesanne 710. Funktsiooni positiivsus- ja negatiivsus­piirkonnad

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X^+ = , X^- = 

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X^+ = , X^- = 

Ülesanne 711. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemis­vahemikud, ekstreemum­kohad ning maksimum ja miinimum

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = , maksimum­punktid on  ja  ning miinimum­punktid on  ja .

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Vastus. X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , maksimum­punkt on  ning miinimum­punkt on .

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , maksimum­punktid on  ja  ning miinimum­punkt on .

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Vastus. X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , maksimum­punktid on  ja  ning miinimum­punkt on .

Ülesanne 712. Funktsiooni suurim ja vähim väärtus

y=3+4\cos x

Vastus. Funktsioonil on suurim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on  ning vähim väärtus argumendi väärtusel   n ∈ Z ja see on .

y=1-\cos x

Vastus. Funktsioonil on suurim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on  ning vähim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on .

y=1,5\cos x

Vastus. Funktsioonil on suurim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on  ning vähim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on .

y=\cos^2x

Vastus. Funktsioonil on suurim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on  ning vähim väärtus argumendi väärtusel  n ∈ Z ja see on .

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Ülesanded B

Ülesanne 713. Vaate­ratas
Joon. 3.25

Vastus. Kui nurk on antud radiaanides, siis on otsitav funktsioon y = . Kui nurk on antud kraadides, siis on otsitav funktsioon y = .

  • Kirjutage välja konkreetne funktsioon, kui r = 6 m ja t0 = 8 minutit.
    Vastus. y =  (radiaanides), y =  (kraadides).
  • Konstrueerige selle funktsiooni graafik piir­konnas 0 ≤ t ≤ 8.
Ülesanne 714. Funktsiooni graafiku konstrueerimine

y=1+0,5\cos x, 0\le x\le\frac{5\pi}{2}

Vastus. X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X_1\downarrow = ; X_2\downarrow = ; maksimum­punktid on  ja  ning miinimum­punkt on .

y=-2+2\cos x, 0\le x\le2\pi

Vastus. X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; maksimum­punktid on  ja  ning miinimum­punkt on .

Ülesanne 715. Võrrandi lahendamine

\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}

Vastus. ..., , , , ... ja
..., , , , ...
ehk x1 =  ja x2 = , n ∈ Z.

\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Vastus. ..., , , , ... ja
..., , , , ...
ehk x1 =  ja x2 = , n ∈ Z.

\cos x=-\frac{1}{2}

Vastus. ..., , , , ... ja
..., , , , ...
ehk x1 =  ja x2 = , n ∈ Z.

\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}

Vastus. ..., , , , ... ja
..., , , , ...
ehk x1 =  ja x2 = , n ∈ Z.

\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Vastus. ..., , , , ... ja
..., , , , ...
ehk x1 =  ja x2 = , n ∈ Z.

\cos x=0,4

Vastus. ..., , , , ... ja
..., , , , ...
ehk x1 ≈  ja x2 ≈ , n ∈ Z.

Ülesanne 716. Võrratuse lahendamine

\cos x>\frac{1}{2}

Vastus.  < x < , n ∈ Z.

\cos x<\frac{\sqrt{2}}{2}

Vastus.  < x < , n ∈ Z.

\cos x<-\frac{1}{2}

Vastus.  < x < , n ∈ Z.

\cos x<\frac{\sqrt{3}}{2}

Vastus.  < x < , n ∈ Z.

\cos x>-\frac{1}{2}

Vastus.  < x < , n ∈ Z.

\cos x>0

Vastus.  < x < , n ∈ Z.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot