Konspekt. Funktsioonid

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Funktsioonid

Funktsiooni definitsioon

Kui igale sõltumatu muutuja x väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f kohaselt vastavusse seatud üks kindel sõltuva y väärtus hulgast Y, siis f-i nimetatakse muutuja x funktsiooniks ja kirjutatakse y = f(x).

Hulkasid X ja Y nimetatakse vastavalt funktsiooni määramis- ja muutumis­piirkondadeks.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Graafiku teisendused

Funktsiooni teisendus

Teisenduse efekt

f (x ± a)

See teisendus nihutab funktsiooni f (x) graafikut vastavalt a ühikut paremale või vasakule.

f (x) ± a

See teisendus nihutab funktsiooni f (x) graafikut vastavalt a ühikut allapoole või ülespoole.

f (–x)
​ja
– f (x)

Funktsiooni f (–x) graafik on funktsiooni f (x) graafiku peegeldus y-telje suhtes.

Funktsiooni –f (x) graafik on funktsiooni f (x) graafiku peegeldus x-telje suhtes.

|f(x)|

Positiivsete funktsiooni väärtuste korral kattub |f(x)| graafik f (x) graafikuga. Negatiivsete funktsiooni f (x) väärtuste korral on |f(x)| graafik f (x) graafiku peegeldus x-telje suhtes.

a f (x)
​​ja
f (bx)

Need teisendused muudavad sõltuvalt a ja b väärtustest funktsiooni f (x) graafikut kas kitsamaks või laiemaks. Esimesel juhul jäävad samaks funktsiooni lõikepunktid x-teljega ning teisel juhul lõikepunktid y-teljega.

Paaris ja paaritu funktsioon

Funktsioon f (x) on paarisfunktsioon, kui mis tahes argumendi x väärtuse korral kehtib f (–x) = f (x). Paaris funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.

Funktsioon f (x) on paaritu funktsioon, kui mis tahes argumendi x väärtuse korral kehtib f (–x) = –f (x). Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes.

Pöördfunktsioon

Kui argumendile x1 on rakendatud funktsioon f (x), siis rakendades saadud tulemusele pöördfunktsiooni f–1 (x), saame tulemuseks uuesti x1 ehk f–1 [(x1)] = x1. Pöördfunktsiooni saab leida vaid funktsioonile, mille puhul igale y väärtusele vastab üks x väärtus.

Funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes. Funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond on vastavalt pöördfunktsiooni muutumispiirkond ja määramispiirkond.

Liitfunktsioon

Liitfunktsioon on funktsioon y = f[g (x)], kus ühe funktsiooni argumendiks on teine funktsioon. Näiteks on liitfunktsioon funktsioon y=\sqrt{x^2-1}, kus sisemine funktsioon on g(x) = x2 –1 ning välimine funktsioon on f\left(x\right)=\sqrt{x}. 

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Tuletis

 Funktsiooni f(x) tuletis f ′(x)

funktsioon f (x)

tuletis f ′(x)

xn

n ⋅ xn–1

ax

ax ⋅ ln (a)

loga x

\frac{1}{x\cdot\ln\left(a\right)}

sin x

cos x

cos x

– sin x

ex

ex

ln (x)

\frac{1}{x}

const

0

Funktsioonide f(x) = u ja g(x) = v korrutise tuletis

[f (x) ⋅ g(x)]’ = f ’(x) ⋅ g(x) + f (x) ⋅ g’(x)

(u ⋅ v)’ = u’ ⋅ v + u ⋅ v’

Funktsioonide f(x) = u ja g(x) = v jagatise tuletis

\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]’=\frac{f’\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g’\left(x\right)}{\left[g\left(x\right)\right]^2}

\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’\cdot v-u\cdot v’}{v^2}

Liitfunktsiooni F(x) = f [g (x)] tuletis

F’(x) = f ’[g(x)] ⋅ g’(x)

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Funktsiooni uurimine

Tabelis on kirjeldatud kõiki funktsiooni f (x) uurimiseks vajalikke samme. Kõikide piirkondade ja punktide puhul tuleb arvestada, et need peavad asuma funktsiooni määramis­piirkonnas.

Määramispiirkond X

​Võta kõikide reaalarvude hulk ning arva sealt välja vahemikud, kus funktsiooni väärtust ei saa arvutada. Sellised vahemikud on näiteks kohad, kus ruutjuure all on negatiivne arv või toimub jagamine nulliga. Tähelepanelik tuleb olla logaritmfunktsioonide puhul, sest logaritmitav ja logaritmi alus peavad olema rangelt positiivsed ning alus ei tohi olla üks.

Muutumispiirkond Y

​Uuri graafiliselt või ekstreemumite abil, milliseid väärtusi funktsioon üldse omab. Võta reaalarvude hulk ning arva sealt välja kõik funktsiooni väärtused, mida ta ei omanda.

Nullkohad X0 ja -punktid

​Nullkohtade leidmiseks lahenda võrrand f (x) = 0. Kui võrrandi lahendid ehk nullkohad on x1, 
​x2, ..., siis on nullpunktid A (x1; f (x1)), B (x2; f (x2)) jne.

Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond X+ ja X–

Lahenda vastavalt võrratused f (x) > 0 ning f (x) < 0.

Ekstreemumkohad Xe ja ekstreemumid ning ekstreemumpunktid

​Lahenda võrrand f ’ (x) = 0. Võrrandi lahendid x1, x2, ... võivad olla ekstreemumkohad. Funktsiooni väärtused f (x1), f (x2), ... neil kohtadel on ekstreemumid. Ekstreemumpunktid on vastavad punktid A (x1; f (x1)), B (x2; f (x2)) jne.

Miinimum- ja maksimumkohad Xmin ja Xmax

Miinimum- ja maksimumkohad on vastavalt ekstreemumkohad, kus f ’’ (x) > 0 ning f ’’ (x) < 0.
​Miinimumid ja maksimumid on funktsiooni väärtused miinimum- ja maksimumkohtadel.

Kasvamis- ja kahanemisvahemik X ↑ ja X ↓

Kasvamisvahemike leidmiseks lahenda võrratus f ’ (x) > 0 ning kahanemisvahemike leidmiseks võrratus f ’ (x) < 0. Tasub meeles pidada, et kasvamis- ja kahanemisvahemikke ei tohi kirjutada ühendina.

Käänukohad Xk

Käänukohtade leidmiseks lahenda võrrand f ’’ (x) = 0. Võrrandi lahendid x1, x2, ... ongi käänukohad.
​Käänupunktid
A (x1; f (x1)), B (x2; f (x2)) jne​

Kumerus- ja nõgususpiirkond  X ⏜  ja  X ⏝

Kumerus- ja nõgususpiirkondade leidmiseks lahenda vastavalt võrratused f ’’ (x) < 0 ning  f ’’ (x) > 0.

Lisää aiheesta
Muut toiminnot

Puutuja võrrand

Joone puutuja leidmine

Joone puutuja võrrandi leidmiseks läbi järgnevad sammud:

  1. Võta joont kirjeldavast funktsioonist või võrrandist tuletis. Kohal x0 on puutuja tõus k tuletise väärtus kohal x0 ehk k = f ’ (x0)
  2. Sea tingimus puudutatava punkti (x0; y0) läbimiseks ning leia selle abil joone puutuja algordinaat b.

Puutuja võrrand esita kas kujul y = kx + b või sirge üldvõrrandina ehk kujul Ax + By + C = 0.

Proovi seda teha leides joone y = –x2 + 3x + 3 puutujasirge võrrand kohal x0 = 2.

  1. Leiame funktsiooni tuletise:
  2. Seega otsitud kohal on puutuja tõus:
  3. Funktsiooni väärtus sellel kohal avaldub kui:
     
Vastus

Selle kõik kokku pannes leiame puutujasirge võrrandi kohas x = 2:

Lisää aiheesta
Muut toiminnot